Как разложить циклическую группу порядка 10 по подгруппам?

[Lil]

Помогите с подробным алгоритмом. С чего начать и что в итоге должно получиться? Перелопатила кучу литературы. Абстрактная теория не помогает(

[Sonic86]

Это $\mathbb{Z}_{10}$ что-ли? Это просто. Для начала: какие у нее есть подгруппы? Если затрудняетесь назвать подгруппы, вспомните теорему Лагранжа о порядке подгрупп и то, что подгруппа циклической группы - тоже циклическая (это понятно почему?).

[Lil]

Я правильно понимаю, что по Лагранжа порядки подгрупп будут 1,2,5,10?

[Sonic86]

Lil в сообщении #501609 писал(а):

Я правильно понимаю, что по Лагранжа порядки подгрупп будут 1,2,5,10?

Точнее говорить, что если подгруппа существует, то ее порядок может быть лишь таким, каким Вы написали (в общем случае не факт, что подгруппа существует).
Дальше, выпишите саму группу, используя тот факт, что она циклическая и имеет порядок 10. Если сможете это сделать, дальше выпишите явно все нетривиальные подгруппы, используя тот факт, что они циклические.

[Lil]

не понимаю, как выписать группу((

[Sonic86]

Lil в сообщении #501618 писал(а):

не понимаю, как выписать группу((

Это делается так:
1-й способ: наша группа $G$ циклическая. Это по определению слова "циклическая" означает, что она порождена одним элементом. Обозначим этот элемент $a$. Значит $G = \{ a^0, a^1, a^2, ...\}$. Теперь осталось вспомнить то, что $G$ имеет порядок $10$, и тогда описание $G = \{ a^0, a^1, a^2, ...\}$ можно еще упростить - сделайте это.
2-й способ: если Вы знакомы с группами $\mathbb{Z}_n^{+}$, то нужно выписать циклическую группу порядка $10$ типа $\mathbb{Z}_n^{+}$ и вспомнить, что все циклические группы одинаковых порядков изоморфны и дальше уже можно работать с экземпляром $\mathbb{Z}_n^{+}$. (тут Вам нужно явно выписать нужный экземпляр $\mathbb{Z}_n^{+}$)

1-й способ немного абстрактный, 2-й - более конкретный. Выбирайте, какой Вам нравится

[Lil]

Второй способ мне не знаком. G={a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9} - это мне понятно. Просто я все время ждала, что будут конкретные числа. Что значит, упростить эту запись - не знаю. Дальше полагаю так: подгруппы будут состоять из 1, 2, 5, 10 элементов. Подгруппы тоже будут цикличны, а значит их элементы будут степенями одного элемента. Вот что это будут за элементы - снова тупик.

[Sonic86]

(формулы)

чтобы набрать фигурную скобку, нужно ставить перед ней слэш: \{ и \} . Подробнее здесь: topic183.html

Lil в сообщении #501628 писал(а):

Просто я все время ждала, что будут конкретные числа.

Можно конкретные числа, это 2-й способ! Например $\mathbb{Z}_{10} = < \{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\};+>$ - тут почти числа (классы вычетов по модулю $10$).

Lil в сообщении #501628 писал(а):

Что значит, упростить эту запись - не знаю.

Вы это уже сделали - выписали ровно $10$ элементов.

Lil в сообщении #501628 писал(а):

Подгруппы тоже будут цикличны, а значит их элементы будут степенями одного элемента. Вот что это будут за элементы - снова тупик.

Ну если $H$ - подгруппа $G$, то группа $H$ это какое-то подмножество элементов из множества $\{ e, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}$. Для начала нужно отбросить тривиальные подгруппы. Далее попробуйте найти подгруппу порядка $2$ - ее найти проще всего. Один ее элемент - это обязательно $e$. Какой второй?

[Lil]

Не понимаю, по каким критериям отбираются элементы в подгруппу. Соответственно, не знаю, какой второй элемент((

[arseniiv]

А чем плохо перебирать группы, порождаемые каждым из $a^n$?

Lil в сообщении #501638 писал(а):

Не понимаю, по каким критериям отбираются элементы в подгруппу.

Ну как же это. Подгруппа должна быть не просто подмножеством элементов группы, а и сама быть группой по той же операции.

[Sonic86]

arseniiv в сообщении #501642 писал(а):

А чем плохо перебирать группы, порождаемые каждым из $a^n$?

Ну можно так. И перебирать проще.
Lil, вообще, Вы про подгруппы циклических групп читали такое: пусть $G = \{ a^1,...,a^n\}$, $H$ - подгруппа $G$. Пусть $k$ - минимальная степень элементов $a^j \in H$, тогда $k|n$ и $a^j \in H \Leftrightarrow k|j$ (далее доказывается от противного делением $j$ на $k$ с остатком). Если Вам это утверждение понятно, можете использовать его.

[Lil]

Операция может быть применена к любым двум элементам группы, в результате чего получается третий элемент группы. А у меня до сих пор проблемы со вторым( Если исходить из свойств подгруппы, то должен быть еще обратный элемент, значит второй тоже единица?

[Sonic86]

Lil в сообщении #501661 писал(а):

Операция может быть применена к любым двум элементам группы, в результате чего получается третий элемент группы. А у меня до сих пор проблемы со вторым( Если исходить из свойств подгруппы, то должен быть еще обратный элемент, значит второй тоже единица?

Нет. Если $H = \{ e,a^j\}$ - подгруппа порядка $2$ для некоторого $j$, то $e \cdot a^j = a^j \neq e$. А значит тогда $a^j \cdot a^j = \text{чему?}$. Найдите такой элемент.

[Lil]

Кажется, я еще больше запуталась. Я сейчас ищу то самое a^j и не понимаю, откуда его вычислить ни абстрактно, ни в классе вычетов. И почему из e\cdot a^j=a^j \ne e следует, что a^j нужно умножать на a^j?

[Sonic86]

Lil в сообщении #501679 писал(а):

Я сейчас ищу то самое a^j и не понимаю, откуда его вычислить ни абстрактно, ни в классе вычетов.

Ну Вы можете попробовать это сделать хоть перебором всех значений $j$, т.е. вычислить $(a^1)2; (a^2)^2;(a^3)^2;...$ - нужно найти всего $9$ произведений.

Lil в сообщении #501679 писал(а):

почему из $e\cdot a^j=a^j \ne e$ следует, что $a^j$ нужно умножать на $a^j$?

$a^j \cdot a^j \in H = \{ e ; a^j\}$ , т.е. либо $a^j \cdot a^j =e$, либо $a^j \cdot a^j =a^j$. Однако второе неверно, поскольку в группе мы можем сокращать,и тогда $a^j \cdot a^j =a^j \Leftrightarrow a^j =e$, что неверно, а значит верно лишь первое Так что $H$ - подгруппа $G \Leftrightarrow H = \{ e ; a^j \}$, где $j : (a^j)^2 = e$.

Если совсем трудно, давайте попробуем заново: докажите по критерию подгруппы, что все множества $\{ a^{ik} \}$ для некоторого $k|n$ и всех $i=1,...,\frac{n}{k}$ дают подгруппу циклической группы $G = \{ a^i\}$. И просто примените этот критерий к Вашей группе, а то мы так далеко не уедем.