Умножение матриц. Мнемоническое правило.

[b322730]

Подскажите, пожалуйста, мнемоническое правило для умножения матриц.

[gris]

Размеры матриц можно представить в виде доминошек.
$(2,6); (3,2); (6,4)$
Умножать можно матрицы, размеры которые можно составить, как доминошки, и в том же порядке. При этом выбрасываем серединку и получаем размеры произведения.
$(2,6)\times(6,4)\to(2,4)$
$(3,2)\times(2,6)\to(3,6)$
Вторую на третью никак не умножить.
Ну а потом "как повелел нам профессор отец от первой строку, от второй,***, столбец"

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Эээ...
"Строка на столбец" - какое ещё правило?

[arseniiv]

Именно. Только зачем в оффтопе? Пусть все видят, что больше ничего и не нужно!

gris интересную аналогию придумал, но она выводится из «строки на столбец».

[bot]

Всё просто. Чтобы научиться правильно перемножать матрицы требуется для начала усвоить, что из двух матриц первая должна быть настолько же длиная, насколько вторая зелёная высокая. Усвоив это, переходим ко второму правилу - для получения ij-го элемента искомого произведения требуется выбрать i-ю строчку первой матрицы и j-й столбец второй матрицы. Вы ещё не забыли, что первая крокодилица матрица настолько же длинная, насколько другая зашибенна высокая? Прекрасно - настало время потренироваться. Смотрите, как всё просто - у Вас есть два глаза (сочуствую, если это не так, Вам придётся поискать другие методики).
Итак у Вас есть два глаза. Берёте свой левый глаз и настраиваете его на лёгкую пробежку слева направо вдоль i-й строки первой матрицы. Обратите внимание, что пробежка должна быть лёгкой, но дискретной - глаз порхает по числам в этой строке, не пропуская ни одного ... Пор-ха-е-т, а не катится по ним неумолимым асфальтовым катком. Пробежитесь левым глазом слева направо несколько раз для тренировки, чтобы это действие стало для Вас рефлекторным. Получилось? Пусть он ещё потренируется сам по себе, оттачивая своё мастерство, а Вы займитесь правым глазом - он должен порхать по числам j-го столбца второй матрицы так же непринуждённо, как это делает левый глаз. Добейтесь того, чтобы Ваши глаза уверенно двигаются в заданных направлениях и ни разу не сбиваются, как это бывает у детей, которых просят одной рукой хлопать себя по животу, а другой гладить по голове. Добились?
Приступаем к синхронизации. Встали глазами на начальные числа - левый глаз на самое левое число i-й строки первой матрицы, а правый - на самое верхнее число j-го столбца второй матрицы. Встали? Ну а теперь, айн, цвай, драй ... синхронно слевасверху направниз порхаем с цветка числа на число. Помните, что матрица первая настолько же длинная, насколько матрица четыре вторая высокая? Ну раз помните, то Ваши глаза допорхают до своих последних чисел одновременно.
Вот собственно и вся метода.

Стоп. Нет, не вся - зачем бегали глазьми-то, совсем по-пусту что ли? Перед каждой пробежкой (а всего их надо будет произвести $m\times n$, где $m$ - число строк в первой, а $n$ - число столбцов во второй матрицы) заведите ячейку в банке в компьютере, в которой будут копиться дивиденды, ну, одним словом этого не объяснишь - лучше посмотреть в специальной литературе. Самое главное в этом деле обнулять ячейку перед каждой пробежкой.

[arseniiv]

(Оффтоп)

А как же записывать-то, не видя? Нужен третий глаз!

[bot]

В конце каждой пробежки надо вынуть дивиденды результат из ячейки, сфокусировать оба глаза на ij-м месте и положить туда вынутый результат.
Можно, конечно, завести $m\times n$ ячеек, но это расточительно.

[arseniiv]

(Оффтоп)

А, этот способ годится только для тех, кто умеет считать в уме! Я вот именно в умножениях матриц делал больше всего ошибок на первом курсе, если не (и потом приучил себя каждый раз) выписывал все слагаемые и множители каждого слагаемого. Хотя, определители тоже с ошибками считались, потому пришлось написать программу, которая показывает, какие числа надо писать и во что они складываются…

[Munin]

Как матрица умножается на вектор-столбец: $c=Ab$



Главное правило: мясорубка смотрит справа налево.

Если вместо вектора-столбца $b$ другая матрица, она "проходит" мясорубку последовательно, по столбцам.

[FFFF]

Умножаю "в столбик", очень удобно=)

[arseniiv]

(Оффтоп)

Вы что, умножаете звёздочкой и на бумаге ручкой?

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Какие замечательные правила, какие медитативные рисунки...
Чувствую себя сороконожкой, прослушавшей лекцию "Биомеханика ходьбы". Которая раньше ходила без проблем.

[Kallikanzarid]

b322730 в сообщении #501539 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, мнемоническое правило для умножения матриц.

Зачем нужно мнемоническое правило? $(AB)_i^j = A_i^k B_k^j$, столбец всегда сверху. При желании можете показывать нужную строчку и столбец пальцами.

Хотя есть забавная мнемоника. Столбец - он, строка - она. Он сверху

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #501798 писал(а):

Чувствую себя сороконожкой, прослушавшей лекцию "Биомеханика ходьбы". Которая раньше ходила без проблем.

:-)

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #501806 писал(а):

Зачем нужно мнемоническое правило? $(AB)_i^j = A_i^k B_k^j$, столбец всегда сверху.

Далеко не всегда. Если речь о просто матрице как таковой, а не о каком-нибудь несчастном тензоре, то обычно он -- просто справа. Да, кстати, для матрицы как тензора (матрицы оператора) он, наоборот, снизу. Поскольку для столбцов индексы принято писать сверху (если уж вообще приспичит разносить их по разным этажам).

arseniiv в сообщении #501649 писал(а):

Я вот именно в умножениях матриц делал больше всего ошибок на первом курсе, если не (и потом приучил себя каждый раз) выписывал все слагаемые и множители каждого слагаемого.

Парадокс, но опыт показывает, что студенты (на 1-м курсе) довольно редко ошибаются в перемножениях матриц. Они, конечно, любят ошибаться в арифметике, но почему-то не здесь. Т.е. не более чем в 20-30% случаев, а если исключить случаи, где ошибка только в одном элементе, так и вовсе процентов пять-десять разве что наберётся.