Ох ты, что такое "мировая функция"? Половина квадрата расстояния между точками? Ладно, ввели вы такую штуковину на аффинном пространстве, но скалярным-то произведением зачем ее называть? Но даже бог с ней с терминологией, все гораздо хуже: как ewert верно заметил, там может начаться путаница с разными метриками.
Дело в том, что в дифференциальной геометрии (и в частности, в евклидовой геометрии, рассматриваемой как дифференциальная геометрия) имеется структура, называемая линейным векторным пространством, и весь формальный аппарат дифференциальной геометрии основан на использовании свойств этой структуры. В дискретной геометрии этой структуры нет. Как ввести ее не известно. Приходится обобщать собственно евклидову геометрию (единственную геометрию, непротиворечивость которой доказана) на дискретную геометрию. Для обобщения нужно использовать понятия и величины, хорошо определенные как в евклидовой, так и в дискретной геометрии. Единственной такой величиной является расстояние (или мировая функция являющаяся половиной квадрата расстояния). Линейное векторное пространство не определено в дискретной геометрии. По этой причине нельзя при обобщении евклидовой геометрии на дискретную использовать понятия и величины определенные в линейном векторном пространстве.
Для того чтобы обобщить такие понятия линейного векторного пространства как скалярное произведение, эквивалентность векторов, разложение векторов на составляющие, операции сложения векторов, умножение их на число, надо выразить их в терминах мировой функции и только мировой функции, т.е. единственной величины, которая определена в дискретной геометрии. Иначе говоря, нужно, чтобы определения общегеометрических величин не содержали ссылки на линейное векторное пространство. Только тогда можно обобщить их на дискретную геометрию.
Разумеется, Вы можете этого не делать и утверждать, что дискетных геометрий не бывает и что реальная геометрия пространства-времени описывается дифференциальной геометрией на самых малых расстояниях. Но тогда Вы столкнетесь с тем обстоятельством, что динамика частиц в микромире не описывается классической динамикой. Приходится вводить квантовую динамику, основанную на непонятных квантовых принципах. Кстати, именно так и поступают нынче.
Однако, если Вы строите дискретную геометрию пространства-времени, то Вам нет необходимости вводить квантовую динамику. Классическая динамика продолжает работать и в микромире. Непонятная квантовая постоянная есть просто элементарная длина дискретной геометрии, взятая с некоторым универсальным множителем.
Joker_vD писал:
Цитата:
"Ругательства" были очень даже аргументированы. Взять хотя бы ваше извращение терминологии: "неаксиоматизируемая теория", "нетранзитивная эквивалентность".
Возвратимся к определению эквивалентности двух векторов. Для применения этого определения в дискретной геометрии нужно записать его в виде соотношений, не содержащих ссылки на линейное векторное пространство. В дифференциальной
геометрии векторы равны (эквивалентны), если равны их составляющие по осям координат. Это определение эквивалентности не может быть перенесено в дискретную геометрию, потому что представление вектора в виде суммы составляющих по осям координат содержит (неявную) ссылку на линейное векторное пространство.
Приходится использовать определение в терминах мировой функции. Два вектора эквивалентны, если (1) они параллельны, т.е. их скалярное произведение равно произведение их модулей, (2) модули векторов равны. Оба соотношения записываются в терминах мировой функции и только мировой функции. В собственно евклидовой геометрии это определение совпадает с традиционным определением эквивалентности векторов (через равенство их составляющих).
Для того, чтобы определить вектор PQ с началом в точке Р, эквивалентный заданному вектору, нужно решить два уравнения для определения координат точки Q. Но уравнений два, а координат точки Q четыре. В евклидовой геометрии это ничему не мешает. В силу специальных свойств евклидовой геометрии решение двух уравнений для определения четырех координат оказывается всегда единственным.
В дискретной геометрии оказывается много векторов в точке Р, эквивалентных заданному вектору и (О ужас!) они оказываются не эквивалентны между собой. Их неэквивалентность означает нетранзитивность отношения эквивалентности. Неаксиоматизируемость геометрии является простым следствием нетранзитивности отношения эквивалентности, поскольку в аксиоматизируемой геометрии отношение эквивалентности транзитивно. Извините, но в дискретной геометрии нельзя ввести такую структуру, как линейное векторное пространство. Но это вовсе не означает, что нельзя построить дискретную геометрию! Другое дело, что дискретная геометрия не обладает свойствами дифференциальной геометрии. Но это даже хорошо, поскольку это позволяет объяснить квантовые эффекты как геометрические эффекты, обусловленные дискретностью геометрии.
Представление о том, что неаксиоматизируемая геометрия есть геометрия в которой нельзя сделать никаких утверждений, порождено простым непониманием того, что означает термин «неаксиоматизируемость». В дискретной (неаксиоматизируемой!) геометрии можно построить все те геометрические объекты, которые можно построить в евклидовой геометрии. Другое дело, что в дискретной геометрии геометрический объект евклидовой геометрии может расщепляться на несколько различных объектов. Тут уж ничего не поделаешь! Евклидова геометрия является сильно вырожденной геометрией и при переходе к дискретной геометрии возможно расщепление геометрических объектов, порожденное в конечном счете многовариантностью отношения эквивалентности.
Что касается Вашей оценки построения дискретной геометрии, как некоторого абсурдного построения, то оно обусловлено Вашей переоценкой роли линейного векторного пространства при построении геометрии. Действительно, оно играет ключевую роль в дифференциальной геометрии, но вполне возможна геометрия, где эта структура отсутствует. Более того, дискретная геометрия реализуется в природе.
Ваша оценка моего построения дискретной геометрии основана на убежденности, что не бывает геометрий, в которых нет такой структуры как линейное векторное пространство.
Из-за своей излишней самоуверенности Вы полагаете, что все, чего Вы не знаете, является абсурдом и не существует в природе. Это - излишняя самоуверенность, и ее не следует демонстрировать публично.
дней: 
$;
