Топологии на X*

[zluka]

На Х*(пространстве функционалов) можно ввести 3 разные тополгии
1)Топология порожденная нормой
2)Слабая топология на Х* порожденная функционалами Х**
3)Слабая * топология
Я много раз пытался понять, что такое слабая * топология (тупо не понимаю определение) и связь между этими 3мя топологиями.
Помогите решить, разобраться)

[MaximVD]

zluka,
вы знакомы с полинормированными пространствами или знаете только "слабые топологии"?

Пусть $X$ - нормированное пространство, элементы $X^*$ - это линейные непрерывные функционалы на $X$. Каким способом можно сравнить насколько "различны" два функционала $f, g \in X^*$? Если не думать ни о какой норме, то самое простое, что может прийти в голову - это сравнивать значения этих функционалов на разных элементах из $X$. То есть берём какие-нибудь $x_1, \ldots, x_n \in X$ и смотрим - "сильно отличаются" значения $f(x_i)$ и $g(x_i)$, $i \in \{ 1, \ldots, n \}$, или нет. Если не сильно, то берём другие $x_i$ и сравниваем на них и т.д. Тем самым можем сравнить сильно "отличаются" функционалы $f$ и $g$ или нет.

Формализацией этих интуитивных соображений является слабая${}^*$ топология. А именно, пусть $f \in X^*$ и $x_1, \ldots, x_n \in X$, $\varepsilon > 0$. Назовём стандартной слабой$^*$ окрестностью функционала $f$ множество вида $\{ g \in X^* \mid |g(x_i) - f(x_i) | < \varepsilon, i \in \{ 1, \ldots, n \} \}$, т.е. в эту окрестность попали те функционалы, значения которых на элементах $x_i$ "не сильно отличаются" от значений функционала $f$. Наконец, назовём множество $U \subset X^*$ слабо$^*$ открытым, если любой элемент этого множества содержится в нём, вместе с некоторой стандартной слабой$^*$ окрестностью. Неформально говоря, множество функционалов слабо$^*$ открыто, если вместе с каждым своим элементом, оно содержит все функционалы, значения которых, на фиксированном наборе векторов из $X$ (набор векторов, естественно, зависит от элемента), близки к значениям выбранного элемента.
Cовокупностью слабо$^*$ открытых множеств образует топологию, которую называют слабой$^*$ топологией.

[zluka]

СпасибоMaximVD теперь я понял определение

[Oleg Zubelevich]

zluka в сообщении #501288 писал(а):

На Х*(пространстве функционалов) можно ввести 3 разные тополгии
1)Топология порожденная нормой
2)Слабая топология на Х* порожденная функционалами Х**
3)Слабая * топология

топология 1) сильнее 2); топология 2) сильнее 3) ("сильнее" надо понимать в нестрогом смысле: могут совпадать)

[Padawan]

Топологии 2) и 3) совпадают тогда и только тогда, когда $X=X^{**}$, т.е. пространство $X$ рефлексивно. Вообще, чем больше функционалов мы используем для определения слабой топологии, тем сильнее она получается (если строго больше, то строго сильнее).

[MaximVD]

Для полноты картины добавлю, что топология, порождённая нормой, совпадает со слабой топологией тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.