zluka,
вы знакомы с полинормированными пространствами или знаете только "слабые топологии"?
Пусть

- нормированное пространство, элементы

- это линейные непрерывные функционалы на

. Каким способом можно сравнить насколько "различны" два функционала

? Если не думать ни о какой норме, то самое простое, что может прийти в голову - это сравнивать значения этих функционалов на разных элементах из

. То есть берём какие-нибудь

и смотрим - "сильно отличаются" значения

и

,

, или нет. Если не сильно, то берём другие

и сравниваем на них и т.д. Тем самым можем сравнить сильно "отличаются" функционалы

и

или нет.
Формализацией этих интуитивных соображений является слабая

топология. А именно, пусть

и

,

. Назовём стандартной слабой

окрестностью функционала

множество вида

, т.е. в эту окрестность попали те функционалы, значения которых на элементах

"не сильно отличаются" от значений функционала

. Наконец, назовём множество

слабо

открытым, если любой элемент этого множества содержится в нём, вместе с некоторой стандартной слабой

окрестностью. Неформально говоря, множество функционалов слабо

открыто, если вместе с каждым своим элементом, оно содержит все функционалы, значения которых, на фиксированном наборе векторов из

(набор векторов, естественно, зависит от элемента), близки к значениям выбранного элемента.
Cовокупностью слабо

открытых множеств образует топологию, которую называют слабой

топологией.