Приступаю к устранению недостатков. Iosif1
В данном посту пытаюсь создать изложение, соответствующее требованиям. " Это, верно, последняя попытка получить вопросы по теме изложения.
§ 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Итак, необходимо доказать, что равенство
(1.1)
при целочисленных
,
и
и
невозможно [1].
В настоящее время БТФ необходимо доказать ( элементарным способом) для случая, когда
– любое простое число, а одно из оснований, например
, содержит в своем составе сомножители
[2 ].
Выразим основания равенства 1.1 через единые аргументы, для чего вводим следующие обозначения:
где, например,
;
;
.
где
,
,
- целые числа.
Поэтому равенство 1.1 может быть представлено в виде:
(1.2) или
(1.3)
где :
;
;
.
,
может быть представлена как неполная
– ая степень разности:
[3]
Соответственно:
,
,
как неполная
– ая степень разности:
.
Из трех величин
,
и
две обязательно должны быть точными степенями с рассматриваемым показателем степени
.
Предлагаемый первый вариант доказательства БТФ основан на невозможности подобрать такие основания
,
и
при
, чтобы
и
, были точными степенями.
Рассмотрим случай, когда
. Предположим, что сомножитель
принадлежит основанию
.
При этом:
; (2.1 )
; (2.2)
Каждое из этих выражений должно быть точной
- той степенью.
Нас интересует вопрос: могут ли величины
и
иметь общие множители?
; (А1)
Вычитаемое и разность общих множителей не имеют, значит и уменьшаемое не имеет общих множителей с разностью, а разность содержит величину
, как сомножитель. Следовательно
и
, не содержат общих сомножителей. Кроме сомножителя 3, в общем случае
.
Для того, чтобы доказать справедливость утверждения БТФ достаточно ответить на вопрос:
Можно ли подобрать в левой части равенства такие два слагаемые, являющиеся точными степенями
– той степени, чтобы правая часть равенства тоже была точной
– той степенью?
§ 2. СРАВНЕНИЕ ПО
КАК ЭЛЕМЕНТ СЧИСЛЕНИЯ
РАВНОГО ИСПОЛЬЗУЕМОМУ МОДУЛЮ .
ПОНЯТИЕ ШТАМПА.
Итак, для того, чтобы ответить на поставленный вопрос необходимо уметь определять: является ли анализируемая величина точной степенью или нет.
В качестве такого инструмента в первом варианте доказательства используется последовательность разрядов при выражении точных степеней в счислении, равном величине рассматриваемой степени.
Изложение доказательства затрудненено тем, что при обучении широко не используются другие счисления, кроме десятичного. Авторы склонны считать, что именно это является причиной затруднительности доказательства БТФ элементарным способом. Поэтому, перед рассмотрением доказательства, основанном на рассмотрении закономерностей, имеющих место в последовательности разрядов при выражении точных степеней в
– том счислении, напомним методику перевода любого числа в
-тое счисление и остановимся на закономерностях, при использовании
–того счисления в степенных выражениях.
В теории чисел широко используется сравнение по
.
Сравнение по модулю можно рассматривать как элемент использования счисления, равного используемому модулю. Чтобы осуществить перевод в
-тое счисление необходимо посредством последовательного деления получаемых частных на
определить весь набор остатков, получаемых при делении. Например,
переведем в третичное счисление.
;
;
;
;
;
;
.
Записав остатки в обратной последовательности, получаем выражение числа в задаваемом счислении:
. [2]
Мы останавливаемся на переводе не потому что думаем, что кто то не знаком с таким переводом, а потому, что именно по этому пункту почему то, в основном, возникает непонимание. Может именно потому, что математические действия, провизводимые в других счислениях, очень непривычны.
Оказалось, что использование счисления, равного показателю рассматриваемой степени наглядно показывает зависимости между разрядами оснований и разрядами степеней им соответствующих.
Использование таких счислений позволяет, как бы формализовать расчеты интересующих нас разрядов или их групп, и по наполнению оснований предвидеть наполнение степеней и наоборот. В
–том счислении количество символов равно
(в десятичном счислени 10) . До 11- ричного счисления удобно использовать общепринятые символы (цифры), используемые в десятиричном счислении. В дальнейших счислениях можно использовать символы, представляющие комбинацию известных символов с использованием разделительных знаков, например для 23 – ричного счисления:
\#22\#21\#20\#19\#18\#….и так далее. Символ равный используемому счислению всегда обозначаем как 0.
Независимо от используемого счисления существующее равенство, конечно, сохраняется. В таблицах 1 – 1, 1 – 2, 1 – 3 дан перевод оснований и соответствующих им степеней, соответственно : для куба – в третичное, пятой – в пятиричное и седьмой степени – в семиричное счисление. Данные таблицы сопоставления оснований и степеней в счислении, равном показателю рассматриваемой степени, как уже говорилось, позволяют проследить закономерность между разрядами оснований и соответствующими им разрядами степеней. На основании такого сопоставления видно, что в основаниях и степенях имеют место эдентичные и неэдентичные разряды. При этом количество идентичных разрядов непостоянно и оказалось, что оно зависит от последовательности разрядов в основании. Определенная последовательность символов (цифр) в основании указывает на то, что такая же последовательость символов будет и в степени, причем на как угодно значительное количество разрядов. Такую последовательность символов мы именуем “штампом”.
Штампы могут быть двухразрядные, трехразрядные и так далее. Если сомножитель
присутствует в основании
, то в
- первых символов (справа), будут нулевыми. Следовательно в основаниях
и
( и в степенях
и
) должно иметь место требуемое количество идентичных разрядов. (штампов с одинаковым количеством символов).
Если мы предполагаем, что сомножитель
присутствует в основании
, то в основаниях
и
, должны иметь место штампы, дополняющиие друг друга, которые при суммировании дают нулевой штамп.
Чтобы записать “штамп” в
- том счислении, можно определить величину остатка (класса вычетов основания и степени) по используемому многоразрядному модулю –
, а затем полученную величину переводить в счисление, равное показателю степени
. Сопоставление разрядов в основаниях и степенях позволяет определить последовательность разрядов, соответствующую штампу. Таким образом, для третьей степени при использовании модуля
, составляем таблицу 1-0, имеем :
Таблица 1 – 0
Таблица представлена колонками по три столбца. В первой колонке: натуральный ряд чисел (по девять значений в столбце); Во второй колонке: остатки при делении на 27. В третьей колонке: разряды в третичном счислении. Такое изображение объясняется незнанием автора , как пересылать табличный материал.
1………. 10………19…….…………1……….1……….1……….………0………0……….1
2………..11………20…….....……8……….8……….8……..…………………2……….2
3………..12………21…….....……0……….0……….0………..….…0………0……….0
4………..13………22………......10………10…….10…………..….1………0……….1
5………..14………23……….…….17………17…….17…………..….1………2……….2
6………..15………24…………..…. 0……… 0………0…………..…..0………0……….0
7………..16………25 …..…………19…….19…….19………..……..2………0……….1
8………..17………26……..……….26………26…….26…………..….2………2……….2
9………..18………27……..…………0………..0………0…………..…..0………0……….0
В третьем блоке таблицы 1 – 0 осуществлен перевод классов вычетов кубов в третичное счисление. Таким образом получены все возможные последовательности трех первых разрядов в третичном счислении для кубов (n = 3).
Это значит, что если взять любое основание с набором первых трех разрядов в третичном счислении, соответствующим штампу, то в кубе этот набор повторится, а за ним возникнет новый разряд уже четырехразрядного штампа.
Но главное, что можно утверждать, что любая точная степень с показателем, представленным простым числом, в счислении, равном показателю рассматриваемой степени, обязательно имеет штамп, минимально двухразрядный!
Поэтому, зная последовательность двух первых разрядов любого числа в
- том счислении можно определять, может ли это число быть точной степенью.
Следует отметить, что для различных показателей степени последовательность символов в штампах в
– том счислении различна, однако для каждой из степеней она строго детерминирована. И второй символ штампа всегда строго определен. При этом, посредством умножения на дополнительный сомножитель можно осуществить перевод одного “штампа” в другой “штамп”, или выразить желаемое количество разрядов в виде штампа. При этом нулевые штампы остаются без изменения (как и при использовании десятичного счисления) и поэтому по величине уже второго символа, всегда можно определять, может ли данная величина быть точной степенью.
Поэтому также достаточно при анализе использовать одну любую существующую последовательность разрядов. Удобней всего использовать последовательность разрядов, соответствующую первому классу вычетов, эту последовательность мы именуем идеальной. (…0001).
Для промежуточных показателей степени (от второго до
) наборы разрядов, соответствующие штампам в
– том счислении именуются промежуточными штампами. Существующая последовательность разрядов при увеличении рассматриваемых степеней, при использовании модуля равного показателю конкретной степени, имеет тенденцию повторяемости через интервал, равный величине рассматриваемой степени.
Для подтверждения вышеизложенного, в таблицах 1 – 1, 1 – 2, 1 – 3 дается пареллельный перевод оснований и степеней в соответствующие счисления.
В таблице 1-1 даны основания и соответствующие кубы в третичном счислении.
В таблице 1-2 дано сопоставление оснований и степеней пятой степени в пятеричном счислении.
В таблице 1-3 дано сопоставление оснований и степеней cедьмой степени в семиричном счислении.
Во втором столбце в перечисленных таблицах основания и степени в десятичном счислении. Последовательность разрядов в рассматриваемом счислении в таблицах располагается аналогично записи в десятичном счислении – справа налево.
Перевод степеней с показателем, равным семи, ограничен основанием равным 13, поскольку таблицы Эксель не помещают в ячейку больших значений; изменение величины ячеек приведет к изменению формы таблиц, что не совсем удобно. В приводимом доказательстве, по мнению авторов, объем предлагаемого материала достаточен для объяснения существующих закономерностей. Авторы просто напоминают о трудоемкости перевода степеней в соответствующие счисления даже при существующей вычислительной технике. Как будет показано далее, использование для анализа модулей эту проблему не ставит.
Таблица 1-1 Третичное счисление (Первый столбец: число в десятичном счислении, остальные столбцы – результаты перевода в третичное счисление).
Основан………1………………0………..0……….0………….0……….0………..0………..1
Степень……….1………………0………..0……….0………….0……….0………..0………..1
основан……….2………………0………..0……….0………….0……….0………..0……….2
Степень……….8………………0………..0……….0………….0……….0………..2……….2
основан……….3……………….0……….0……….0………….0……….0………..1……….0
Степень……...27……………….0……….0……….0………….1……….0………..0……… 0
основан……… 4……………… 0………..0……….0………….0……….0……….1……….1
Степень……...64……………….0……….0……….0………….2……….1………..0……….1
основан……….5……………….0………..0……….0………….0………0………...1………2
Степень…….125……………….0………..0……….1………….1………1………...2………2
основан……….6……………….0…………0……….0………….0……….0………..2………0
Степень…….216……………….0…………0……….2………….2……….0………..0………0
основан……….7…….…………0…………0……….0………….0……….0………..2……….1
Степень…….343……………….0…………1……….1………….0……….2………..0……….1
основан……….8………………..0…………0………0…………..0……….0……….2……….2
Степень…….512……………….0…………2……….0…………..0……….2………..2……….2
Таблица 1-2 Пятиричное счисление (Первый столбец: число в десятичном счислении, остальные столбцы – результаты перевода в пятиричное счисление).
Основан………1…………........ 0………..0……… 0……….…0……….0……….0……….1
Степень……….1…………………….0………..0……….0…………0……….0……….0…….…1
основан……….2…………………….0…………0……….0………...0………..0…….0……..…2
Степень……...32…………………….0…………0……….0………...0………..1……….1………2
основан……….3…………………….0…………0……….0………...0………..0……….0………3
Степень…….243…………………….0…………0……….0………...1……….4………..3……….3
основан………4……………………..0…………0………..0………..0………..0……….0…….…4
Степень…..1024……………………..0…………0………..1………..3………..0……….4……….4
основан……….5……………………..0………...0………..0………..0………...0…….1………0
Степень…...3125……………………..0………...1………..0………..0………...0………0………0
основан……….6……………………..0…………0………...0………..0………..0……….1……….1
Степень…...7776……………………..0………...2………...2………..2………..1……….0……….1
основан……….7……………………..0…………0………..0………..0………...0………..1……….2
Степень….16807……………………..1…………0………..1………..4………..2………...1………2
основан……….8……………………...0…………0……….0………...0………..0……….1………3
Степень….32768……………………...2…………0……….2………...2………..0……….3………3
Таблица 1-3 Семиричное счисление (Первый столбец: число в десятичном счислении, остальные столбцы – результаты перевода в семиричное счисление).
Основан……….1……………………...0…………0………..0………..0………..0………..0………..1
Степень………..1……………………...0…………0………..0………..0………..0……….0………...1
Основан……….2……………………...0…………0………..0………...0……….0……….0……….…2
Степень……..128……………………...0…………0………..0………...0………2………..4……….…2
Основан……….3……………………...0…………0………..0………...0………0………..0………...3
Степень……2187……………………...0…………0………...0………..6……….2………..4……….…3
Основан ………4……………………...0…………0………...0………...0……….0……….0………...4
Степень…..16384……………………...0…………0………..6………...5……….5……….2…………..4
Основан……….5……………………...0…………0………..0………...0……….0……….0………....5
Степень…..78125……………………...0…………4………..4………...3……….5……….2…………..5
Основан……….6……………………...0…………0………..0………...0……….0……….0………....6
Степень…279936……………………...2…………2………..4………...4………..0……….6…………..6
Основан……….7……………………...0……….0………..0………...0………..0……….1………....0
Степень... 823543……………………...0………. 0………..0………..…0………..0…….…0…….…..0
Основан……….8……………………...0………….0………..0………...0……….0……….1………...1
Степень 2097152……………………....3…………..5………..5………...3……….1……….0…….……1
При
= 5 имеют место следующие девятиразрядные штампы:
…000 000 001, …032 431 212, …412 013 233, …..444444444, …000000000.
Для различных степеней штампы различны, но всегда имеют место три вида штампов:
….000; …
и …001.
“Штамп”, состоящий из нулевых символов и единицы, именуется нами идеальным, Он назван так, ввиду удобства его использования при расчетах. При этом, всегда штамп одной из интересующих нас величин можно преобразовать в идеальный штамп (за исключением нулевого). Если основания относятся к классам вычетов, отличных от нулевого, первого и
классов (по mod n), последовательность символов в штампах может быть самая различная. Определять штампы можно на основании последовательного рассмотрения соответствия между разрядами оснований и разрядами степеней. Символ, появляющийся за идентичными символами основания и степени, есть следующий символ штампа.
Все математические действия над числами, применяемые в предлагаемом доказательстве, начинаются с действий над штампами этих чисел. Так как нас интересуют результаты действий над штампами, математические действия, производимые со штампами, именуются также как и при действиях с числами . Если при сложении двух чисел в сумме образуется штамп из нулевых символов, штампы слагаемых мы именуем дополняющими друг друга до нулевого штампа. Например, в третичном счислении:
……222
+….001
_________
……000
Произведение штампов обязательно является штампом. Поэтому посредством использования дополнительных сомножителей можно осуществлять перевод одних штампов в другие штампы, точных степеней с одними штампами в точные степени с другими штампами.
Например (в третичном счислении):
А так же, можно обеспечить штамп в любом числе, и не являющимся степенью.
Между основаниями и степенями в образовании штампов существует строгая закономерность. Количество нулевых символов в штампе степени , по сравнению с количеством таких же символов в штампе основания, увеличивается в
раз. Количество же символов в других штампах в степени, по сравнению с количеством символов в штампе основания, увеличивается на один.
Для того, чтобы обеспечить наполнение сомножителями
одно из слагаемых, в равенстве 1.1 уже при
, необходимо чтобы другие два основания имели хотя бы по два одинаковых первых разряда, что соответствует двухразрядным штампам. Для наполнения сомножителями
суммы в равенстве 1.1, необходимо, чтобы основания двух других степеней имели двухразрядные штампы, дополняющие друг друга.
Промежуточный штамп степени
всегда есть идеальный штамп, по количеству разрядов штампа основания, так как только такой штамп может обеспечить тождественность штампов основания и степени.
Итак, если рассматриваемое число есть точная степень, оно должно иметь минимум двухразрядный идеальный штамп , то – есть при переводе двух первых разрядов рассматриваемой степени в идеальный штамп, в счислении, равном показателю степени, должен получаться штамп … 01.
Если предположить что в равенстве 1.1 сомножители
принадлежат слагаемому
, необходимо, что бы
; (3)
Для этого необходимо чтобы
; (4)
То – есть основания
и
должны иметь
одинаковых разрядов, которые всегда могут быть переведены в “штамп”.
Если предположить, что сомножители
в равенстве 1.1 принадлежат сумме
, необходимо, что бы основания
и
имели штампы на
разрядов, дополняющие друг друга . При этом необходимо, чтобы
и
были точными
– тыми степенями .
Для доказательства БТФ остается ответить на вопрос: возможно ли это ?
Так как условие 4 выполнимо, выполнимо и условие 3.
А возможно ли при этом обеспечение таких
и
(
и
) , у которых штампы соответствуют требованиям, предъявляемым точным степеням?
Поэтому определяем, какие штампы могут иметь величины
и
, если предположить, что штампы величин
и
идеальные. (Мы всегда можем это обеспечить.) Зная наполнение штампов оснований
,
и
можно рассчитать штампы интересующих нас значений. При наличии сомножителя
в основании
, так как
;
, сомножители
и
должны быть точными
– тыми степенями.
Напомним, что к какому бы из оснований не принадлежал сомножитель
в выражении 1.1, всегда две другие степени есть произведение степеней с показателем степени
, не имеющие общих сомножителей; что легко доказуемо: ведь после корректировки величины
на
или
;или
в получаемой сумме или разности мы всегда имеем сомножитель
или
и поэтому, мы всегда имеем возможность показать невозможность общих сомножителей в величинах
и
, если основание
не содержит сомножителя
.
§ 3 . ЗАВЕРШЕНИЕ ПЕРВОГО ВАРИТАНТА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА БТФ
.
Итак, отметим еще раз, что для того, чтобы определять может или нет являться рассматриваемое число точной степенью, достаточно в
-том счислении определить два первых разряда данного числа.
Это справедливо для случая, когда в основании степени имеется единичный сомножитель
. При увеличении количества таких сомножителей не обеспечивается ожидаемое равенство уже на разрядах с большим порядковым номером. Читатель при желании может это показать самостоятельно.
Всегда удобно использовать переводной сомножитель, при помощи которого достигается получение первого разряда при переводе, равного единице; тогда – подтверждением того, что рассматриваемое число, точно, не может являться точной
– той степенью является величина второго разряда, отличная от нуля.
На основании выражений 2.1 и 2.2. при
может иметь место два варианта.
Первый вариант: (нас интересуют только два первых символа):
(5)
(основание
имеет штам 10)
Второй вариант:
(6)
(основание
имеет штамп 20)
Как видно, ни один из возможных вариантов не обеспечивает такой штамп, чтобы
могло быть точным кубом. (Варианты (5) и (6) записаны для случая, когда основание
содержит в своем составе единичный сомнолжитель
.
Можно убедится, что и при других показателях степени сконструировать основания
и
в соответствии с требуемым наполнением основания
и при этом обеспечить необходимые штампы величин
и
невозможно.
Итак, нами показана невозможность составления равенства 1.1 для варианта, когда сомножитель
принадлежит основанию
. Теперь предположим, что сомножитель
принадлежит основанию
. В этом случае основание
имеет штамп с нулевыми символами.
Но при этом в формулах выражений 5 и 6 только слагаемые меняются местами, что также не позволяет получать штамп нужного наполнения. При
и далее, формализованные выражения
,
,
отличаются от этих же выражений при
количеством слагаемых , показателями степеней, в которые возводятся исходные основания, и количеством вариантов символа, следующего за нулевым символом. Однако, при использовании идеального штампа в одном исходном основании, и нулевого штампа в другом исходном основании только увеличивается количество возможных вариантов, приводивших к получению различных вторых символов в рассчитываемом штампе интересующих нас величин.
Если предположить, что в основании символ , следующий за нулевым символом равен единицы, имеем:
Fa для n =5…………..………….. Fa для n = 7
……0000 ……………..………………….000000
+ …1000 …………………..………..+.100000
+ … 100…………………..………… +… 10000
+ ….. 10 ………………………..……..+ 1000
+….. .01…………………………....….+… 100
… …..11 ……………………………...…+…. 10
……………………………………….…..+….... 01
…………………………………………….…..... 11
(Результирующие величины показаны без знака
То –есть при любом показателе степени мы не получим в рассчитываемых выражениях ожидаемого штампа. И если предположить, что символ, следующий за нулевым символом, в одном из исходных оснований не равен 1, все равно ясно, что в рассчитываемом выражении второй символ, следующий за символом, равным единице не может быть нулевым символом. То – есть, можно утверждать, что ни при каком показателе степени в рассчитываемых величинах
не может возникнуть штамп, соответствующий штампу точной степени. А поэтому можно утверждать, что ни при каком показателе степени не может состояться равенство 1.1. Что и требовалось доказать.