Многомерные расширения ТФКП

[Time]

Может не стОит, не разобравшись с объявленными ложными утверждениями для плоскости двойной и комплексной переменной переходить сразу на $\mathbb R^4$? Хотя бы потому, что конформные преобразования той же евклидовой плоскости, хоть и не образуют группы и бесконечномерны, все же, совсем не то же самое, что множество диффеоморфизмов $\mathbb R^2$, да и физические интерпретации в физике двумерных стационарных явлений имеют не эти самые диффеоморфизмы, а на много меньшее множество именно конформных преобразований с вполне нормальной метрикой, а не просто ее заменителями в виде "произвольной скалярной функции, не обращающейся в ноль". О возможности и способах проделать аналогичные интерпретации h-голоморфных функций двойной переменной и говорится в обсуждаемой сейчас статье.
Вернитесь, пожалуйста, к вопросам моего предыдущего поста, а дальше видно будет..

[g______d]

Я ответил отдельным постом, но он почему-то прикрепился к предыдущему в виде апдейта. Обновите, пожалуйста, страницу.

[Time]

g______d в сообщении #501213 писал(а):

Именно так. Произвольную гладкую функцию нельзя представить в виде функции переменных $z$ и $\bar z$.

Приведите пожалуйста пример, когда гладкое отображение $\mathbb R^2$ в $\mathbb R^2$ не представимо в виде функций переменных $z$ и $\bar z$? На всякий случай, обращу при этом Ваше внимание на приписку чуть ниже формул (8) и (9), что при этом мы ограничиваемся отображениями сохраняющими структуру комплексной плоскости.. Такая же приписка есть и под формулой (32).

[g______d]

Перед формулой (8) есть фраза "Напомним, что произвольное гладкое отображение...". Потом "С помощью формул (5)..." Я утверждаю, что вторая фраза не верна. Мне кажется, что обосновать ее --- Ваша задача. Гладкая функция двух вещественных переменных не может превратиться в функцию двух независимых комплексных переменных. То, что они предполагаются независимыми, написано перед формулой (5). Если же они все-таки независимыми не являются (как, собственно, и следовало бы ожидать, глядя на формулу (5)), то Вы не можете брать частную производную функции $F(z,\bar z)$ по переменной $z$, т. к. для этого придется зафиксировать вторую переменную $\bar z$, которая зависима от $z$.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #501224 писал(а):

Хотя бы потому, что конформные преобразования той же евклидовой плоскости, хоть и не образуют группы и бесконечномерны

???

[Time]

Там говорится не об одной, а о двух гладких функциях двух вещественных переменных. Посмотрите внимательнее..

Как бы то ни было, Вы пытаетесь искать относительно мелкие шероховатости в терминологии, в то время как основную проблему, заключающуюся в отсутствии физических и геометрических интерпретаций h-голоморфных функций двойной переменной в максимально полной аналогии с интерпретациями голоморфных функций в теории комплексного потенциала, упорно не желаете обсуждать. Мои вопросы выше в отношении этой проблемы Вы в очередной раз проигнорировали. Ответьте, пожалуйста, на них. Если мы где-то действительно допустили математические нестрогости, с этим, в конце концов, можно разобраться и подчистить.. А вот если этой самой проблемы мы не решаем даже на концептуальном уровне, на все терминологические аспекты можно смело забить, во всяком случае, в связи с нашими попытками разобраться с возможностью/невозможностью интерпретировать h-голоморфные функции как потенциальные и соленоидальные (в гиперболическом смысле, естественно) векторные поля двумерного псевдоевклидова пространства-времени.
Попробуем обсудить ЭТУ проблему?

-- Вт ноя 08, 2011 21:03:00 --

Kallikanzarid в сообщении #501262 писал(а):

???

См. выше диалог с g______d, а не выхватывайте отдельную фразу из последнего поста довольно протяженного разговора. К тому же адресуйте лучше свое недоумение именно к нему. Его аргументы против групповой структуры всех конформных преобразований евклидовой плоскости и аналитических функций комплексной переменной были вполне логичными, в отличие от вашей способности вести разговор..

[Kallikanzarid]

g______d в сообщении #501213 писал(а):

Теперь рассмотрим ситуацию, описываемую Time. Метрика в ней --- это симметричный тензор валентности 4. При диффеоморфизме он перейдет в другой симметричный тензор валентности 4. Но расслоение таких тензоров одномерно (кажется), поэтому любые два невырожденных тензора отличаются скалярным множителем.

Нет, $L_s^k(\mathbb{R}^n) \cong \operatorname{Sym}^k \mathbb{R}^n^* \cong \mathbb{R}[x^1, \ldots, x^n]_k$, размерность посчитать несложно :) Соответствующее функтору $L_s^k$ расслоение $L_s^k(TM)$ будет иметь ту же размерность.

-- Ср ноя 09, 2011 00:06:47 --

Time в сообщении #501266 писал(а):

См. выше диалог с g______d, а не выхватывайте отдельную фразу из последнего поста довольно протяженного разговора.

Вы написали, что конформные преобразования $\mathbb{R}^2$ не образуют группы. Трудно вырвать такое утверждение из контекста :)

-- Ср ноя 09, 2011 00:11:51 --

Time в сообщении #501266 писал(а):

Его аргументы против групповой структуры всех конформных преобразований евклидовой плоскости и аналитических функций комплексной переменной были вполне логичными, в отличие от вашей способности вести разговор..

Конформное преобразование (псевдо)-римановой метрики $g \in \Gamma(L_s^2 TM)$ - это диффеоморфизм вида $f \in \operatorname{Diff}M$ такой, что $f^*g = \lambda_f g$, где $\lambda_f \in \mathbb{R}$, $\lambda_f > 0$, не? Упражнение: докажите, что все такие преобразования образуют группу.

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #501271 писал(а):

Вы написали, что конформные преобразования $\mathbb R^2$ не образуют группы. Трудно вырвать такое утверждение из контекста :)

Не $\mathbb R^2$, а двумерного евклидова пространства. Не передергивайте. Если вы не видите разницы между этими двумя многообразиями и путаете диффеоморфизмы первого с конформными преобразованиями второго, у вас серьезные проблемы..

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #501276 писал(а):

Не $\mathbb R^2$, а двумерного евклидова пространства.

Двумерное евклидово пространство - это многообразие $\mathbb{R}^2$ с метрикой $g = \mathrm{d}x^1 \mathrm{d}x^1 + \mathrm{d}x^2 \mathrm{d}x^2$, что конкретно вам не нравится?

[Time]

Kallikanzarid в сообщении #501271 писал(а):

Конформное преобразование (псевдо)-римановой метрики

Снова передергиваете. Еще раз подчеркну, что речь шла о евклидовой плоскости. Докажите, что у всех конформных преобразований этого пространства, или всех аналитических функций комплексной переменной есть обратные преобразования (без привлечения многолистных римановых поверхностей) и ваши "???" будут иметь смысл..

-- Вт ноя 08, 2011 21:21:03 --

Kallikanzarid в сообщении #501279 писал(а):

Time в сообщении #501276 писал(а):

Не $\mathbb R^2$, а двумерного евклидова пространства.

Двумерное евклидово пространство - это многообразие $\mathbb{R}^2$ с метрикой $g = \mathrm{d}x^1 \mathrm{d}x^1 + \mathrm{d}x^2 \mathrm{d}x^2$, что конкретно вам не нравится?

Вот именно, что с метрикой.. Конформность преобразований евклидовой плоскости связана именно с ней. О конформных преобразованиях $\mathbb R^2$ (без метрики) я никогда разговора не вел, это вы постоянно пытаетесь под таковыми понимать диффеоморфизмы этого пространства.

[g______d]

Да, я неправ насчет одномерности.

Насчет конформной группы --- разумеется, конформные преобразования $\mathbb R^2$ образуют группу, просто она конечномерна (хотя я опять же неправильно сказал, что они дробно-линейные --- они просто линейные).

-- 08.11.2011, 21:23 --

Замечание было о том, что понятия "бесконечномерная группа конформных преобразований" нет. Если постараться, то можно что-то сказать про локальные конформные преобразования.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #501280 писал(а):

Снова передергиваете. Еще раз подчеркну, что речь шла о евклидовой плоскости. Докжите, что у всех конформных преобразований этого пространства, или всех аналитических функций комплексной переменной есть обратные преобразования (без привлечения многолистных римановых поверхностей) и ваши "???" будут иметь смысл..

Конформные преобразования $\mathbb{R}^2$ определению являются диффеоморфизмами; комплексная функция $z \mapsto z^2$, с другой стороны, не является инъективной. ИМХО вы путаете термины.

[g______d]

Kallikanzarid в сообщении #501289 писал(а):

ИМХО вы путаете термины.

Вот, об этом и шла речь.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #501280 писал(а):

Вот именно, что с метрикой.. Конформность преобразований евклидовой плоскости связана именно с ней. О конформных преобразованиях $\mathbb R^2$ (без метрики) я никогда разговора не вел, это вы постоянно пытаетесь под таковыми понимать диффеоморфизмы этого пространства.

Где это я такое писал?

-- Ср ноя 09, 2011 00:30:14 --

Time
Не, при желании вы можете рассматривать моноид всех гладких функций $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, послойно сохраняющих метрику с точностью до умножения на скаляр, тогда конформная группа будет группой обратимых элементов этого моноида. Но как правило везде рассматривают именно эту группу (т.к. нас интересуют именно симметрии физических теорий).

[Time]

g______d в сообщении #501285 писал(а):

Да, я неправ насчет одномерности.

Насчет конформной группы --- разумеется, конформные преобразования $\mathbb R^2$ образуют группу, просто она конечномерна (хотя я опять же неправильно сказал, что они дробно-линейные --- они просто линейные).

Ну вот.. Во первых, мы с Вами говорили о евклидовой плоскости, что совсем не одно и тоже с $\mathbb R^2$. И я с Вами согласился не в отношении того, что множество конформных преобразований евклидовой плоскости ограничено дробнолинейными, а тем более, одними линейными преобразованиями, а с тем что, нелинейные конформные преобразования, в частности связанные с нелинейными аналитическими функциями комплексной переменной часто определяются только на римановых многолистных поверхностях и потому, строго говоря, нельзя говорить о групповых свойствах однолистной плоскости. Но само множество конформных преобразований евклидовой плоскости, равно как и множество аналитических функций комплексной переменной бесконечнопараметрическое.

Цитата:

Замечание было о том, что понятия "бесконечномерная группа конформных преобразований" нет. Если постараться, то можно что-то сказать про локальные конформные преобразования.

Так тем и замечательно множество конформных преобразований евклидовой плоскости, что оно бесконечнопараметрическое (пусть и не образует структуры группы), причем именно глобально, ну, разве что, с потерей конформности (аналитичности) в особых точках.