Арифметическая прогрессия (Мордкович 9кл. 23.73)

[dnoskov]

Друзья!

Расшифруйте пожалуйста текст задания. Текст следующий:

Звавич писал(а):

23.73. В арифметической прогрессии $(a_n)$ $n$ членов. Получите формулу, выражающую сумму:

1. всех членов прогрессии с чётнымии номерами;
2. всех членов прогрессии с нечётными номерами;
3. последних $k$ членов прогрессии ($k<n$);
4. всех членов прогрессии, номера которых при делении на $3$ дают в остатке $2$,

если:

1. $S_\text{чёт}=\frac{a_2+a_k}{2}\cdot \frac{n}{2}$, $k=n+\frac{(-1)^n-1}{2}$
2. $S_\text{нечет}=\frac{a_1+a_k}{2}\cdot \frac{n+1}{2}$, $k=n-\frac{(-1)^n+1}{2}$
3. $S_{n-k}=\frac{a_n+a_{n-k+1}}{2}\cdot k$

Я что-то никак не соображу, зачем эти формулы (a. b. c.) приведены, если:

1. их надо найти
2. они никак не помогают (по-моему) решению задачи

А решение, по-крайней мере для формулы суммы членов с чётными номерами, хотя этим методом можно найти и все остальные формулы, вот:

Полагаю арифметическую прогрессию из условия — данной, т.е. нам известны $a_1$, $d_a$, $n$. Т.о. имеем:
$a_n=a_1+d(n-1)$
Пусть $n=2k$, $k \in \mathbb N$ тогда:

$$a_{2k}=a_1+d_a(2k-1)=a_1+2d_ak-d_a=2d_ak-2d_a+a_1+d_a=2d_a(k-1)+(a_1+d_a)$$

Т.е. любой $a_{2k}$ является членом арифметической прогрессии $(b_k)$, такой, что:
$b_1=a_1+d_a$, $d_b=2d_a$, $k=[\frac{n}{2}]$, где $k$ — число членов прогрессии $(b_k)$,
сумма всех членов которой и будет являться суммой всех членов прогрессии $(a_n)$ с чётными номерами. Т.о.

$$S_\text{чёт}=k\cdot \frac{b_1+b_k}{2}=\frac{n(2(a_1+d_a)+2d_a(\frac{n}{2}-1))}{4}=\frac{n(2a_1+d_an)}{4}$$

Т.е. я нашёл формулу, используя только саму данную прогрессию. А к чему даны ещё формулы (a. b. c.)?… Или я чего-то не того?

[gris]

Вероятно, требуется эти формулы вывести и потренироваться для решения четвёртой задачи. Хотя задачник и повышенного уровня, сразу её решить смогут далеко не все.
Для первых двух даны подсказки. То, что члены АП через равные промежутки образуют тоже АП, школьники знают. Формулу суммы через первый и последний член и количество членов тоже знают, а вот с определением плавающего номера последнего члена могут быть непонятки. Для этого подсказывается ответ. Третья задача тоже на применение этой формулы, только она гораздо проще. Тут надо правильно определить первый номер.
Всё это подводит к решению четвёртой задачи по образу и подобию первых. Определить номер последнего члена и количество членов и правильно выразить его через $n$ довольно сложно для обычного школьника.
Я думаю, это чисто методический приём.

[dnoskov]

gris в сообщении #501208 писал(а):

требуется эти формулы вывести

Т.е. моё решение — неверное (каким-то неясным для меня образом)?

[gris]

У меня именно этого задачника нет. А что там в ответе?
Просто я предположил, что школьников подводят к решению подобных задач именно этим методом: определить первый член, последний и их количество. И научиться записывать это с помощью $(-1)^n$. Хотя там можно и через модули и целую часть, на повышенном уровне это проходят.
Но так как самого задачника и близлежащих задач я не видел, то это лишь моё предположение.
Но Ваше решение не может быть верным, так как сумма членов с чётными номерами одинакова для чётного и последующего нечётного $n$, а у Вас она разная,ак как выведена только для чётного $n$. А для нечётного?

Хотя у Вас там в середине используется целая часть. Чего же Вы от неё отказались? Рассуждения-то правильные.

[dnoskov]

gris
Хм… правда — не верно! Но вот для АП $(b_k)$ всё работает. Я подумал, что, покуда $(b_k)$ задаётся через $(a_n)$, то можно подставить, но, видимо — нет… Ладно — буду дальше думать. Если что — напишу в эту тему…

Спасибо вам, gris!

-- Вт ноя 08, 2011 21:32:53 --

gris в сообщении #501242 писал(а):

Чего же Вы от неё отказались?

А-ааа! Вот! Это потому что я неуверенно себя с ней чуствую, и подумал, что, раз $n \in \mathbb N$ и $k \in \mathbb N$, то, эти условия как-то должны повлиять… не повлияли.

-- Вт ноя 08, 2011 21:34:51 --

Ну, т.е. это я не додумал.