Преобразование Фурье

[Nimza]

Как посчитать такой интеграл?

$\int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{e^{i\xi x} d\xi}{ \xi^2 - k^2 - i0},\;\;\; k, x \in \mathbb{R}^3$

Я пробовал использовать лемму Жордана, но там такие неприятные большие корни вылезают. Я делал замену $\xi = \alpha x + \beta y + \gamma z$ и уже после этого сразу применял лемму ($y,z$ - фиксированные ортогональные векторы, ортогональные иксу, $\alpha, \beta, \gamma$ --- новые переменные интегрирования). Должно получиться $C \frac{e^{i|k||x|}}{|x|}$.

[Полосин]

Сначала сделайте поворот, так чтобы ось $O\zeta '$ и вектор $x$ стали сонаправлены, а затем перейдите к сферическим координатам.

[Nimza]

Спасибо, всё получилось

[Nimza]

Только вот опять проблема с этим интегралом. Я хочу показать, что он равен такому интегралу

$ \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{e^{i\xi x} d\xi }{ \xi^2 - k^2 - i0} = e^{ikx} \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{e^{i \xi x} d\xi}{ \xi^2 + 2(k + i0\frac{k}{|k|})\xi} $

Формальными манипуляциями они что-то друг другу не приводятся у меня. Может тут используются какие-то тождества для обобщенных функций?

[svv]

Подстановка $\xi \to \xi+k$ что дает?

[Nimza]

Приводит к

$ \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{e^{i\xi x} d\xi}{(\xi + i \frac{k}{|k|}\varepsilon)^2 - k^2 + \varepsilon^2 - 2i|k|\varepsilon} $

Это если идти справа налево.

[AlexValk]

У Вас есть некоторая путаница с размерностями: запись $\xi^2-k^2-i 0$ означает, что $\xi$ и $k$ имеют одинаковую размерность, а величина $i0$ - тоже размерная, причём по размерности она такая же, как $k^2$. В то же время в правой части запись $2\left(k + i0\frac{k}{|k|}\right) $ показывает, что здесь $i0$ по размерности - такая же как $k$.
Итак записываем левую часть в виде $\int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{e^{i\xi x} d\xi }{ \xi^2 - k^2-i\varepsilon} $, где $\varepsilon\to +0$ считаем величиной размерности $k^2$. Тогда замена $\xi \to \xi+k+i\varepsilon\frac{ k}{2k^2}$ приводит левую часть к формуле со знаменателем $\xi^2 + 2\left(k + i \frac{\varepsilon k}{2k^2}\right)\xi}$, который можно записать в Вашей форме $\xi^2 + 2\left(k + i \delta\frac{ k}{|k|}\right)\xi}$, где $\delta=\frac{\varepsilon}{2|k|}\to +0$ - величина размерности $k$ (т.е. иной, чем $\varepsilon$)

Если $k$ вещественно, то чтобы избежать путаницы с размерностями, удобнее записывать левую часть в виде $\int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{e^{i\xi x} d\xi }{ \xi^2 - k^2-i\varepsilon k^2} $, где параметр $\varepsilon\to +0$ безразмерен. Тогда замена $\xi \to \xi+k\left(1+i\frac{\varepsilon}{2}\right)$ приводит к формуле Вашего типа со знаменателем $\xi^2 + 2\left(k + i \frac12 \varepsilon k\right)\xi}$.

[Nimza]

Вроде бы без путаницы с размерностями нет. Размерность $\varepsilon$ это один и слева и справа. Иначе было бы некорректно умножение скобки справа на $\xi$.
А что касается замены $\xi \mapsto \xi + k(1+i\frac{\varepsilon}{2})$, так она выведет нас из $\mathbb{R}^3$.