Многомерные расширения ТФКП

[ИгорЪ]

Time
К вопросу о бесконечномерности и выделенности.
Предвидя буковки, прошу отвечать только конкретную информацию.
Очевидно, что одномерная метрика $dy$ обладает наивной "предконформной" инвариантностью, преобразования которой есть просто замена одной переменной$y=y(x)$,$dy=\frac{dy}{dx} dx$ . Конформный фактор - производная, функция одной переменной.Алгебра таких преобразований (алгебра Витта)неабелева и бесконечномерна. Никаких Коши-Риманов, переменная одна, не скем смешиваться. Двумерная (псевдо)евклидова метрика уже понастоящему конформно инвариантна относительно произведения двух копий таких алгебр, соответствующих преобразованиям метрики голоморфной и антиголоморфной функцией. Есть (псевдо)Коши-Риман, связывает две переменные, перемешивающиеся при преобразованиях. Конформный фактор - функция двух переменных. Трехмерная (и дальше) евклидова метрика позволяет только спец. преобразования, алгебра которых конечномерна.
По моим подсчетам, метрика БМ, обладает четырехкратной "предконформной" инвариантностью, без всяких Коши-Риманов и перемешиваний координат. Конформный фактор, есть просто произведение четырех функций, производных, каждая разной одной переменной(точнее корень из них четвертой степени). Для примера, любая риманова метрика вида $dx \cdot (....)$ обладает "предконформной инвариантностью, преобразований $x$ в любую функцию одной переменной от $x$. Так что или надо доказывать смешивание четырех координат БМ при конформных преобразованиях и многомерные Коши-Римана или никакой выделенности.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #500806 писал(а):

К вопросу о бесконечномерности и выделенности.

Я говорил только про бесконечность, про выделенность это вы уже сами добавили. Помимо проcтранств с метрикой Бервальда-Моора бесконечными конформными группами обладают еще многие многомерные плоские финслеровы пространства, в частности, связанные с алгебрами, получаемыми как прямые суммы нескольких комплексных алгебр.

ИгорЪ в сообщении #500806 писал(а):

По моим подсчетам, метрика БМ, обладает четырехкратной "предконформной" инвариантностью, без всяких Коши-Риманов и перемешиваний координат. Конформный фактор, есть просто произведение четырех функций, производных, каждая разной одной переменной(точнее корень из них четвертой степени).

Так у двумерного псевдоевклидова пространства все обстоит точно так же как у четырехмерного пространства с метрикой Бервальда-Моора, с той разницей, что вместо четырехкратной "предкомформной" инвариантности тут двухкратная, а конформный фактор есть просто произведение двух функций, производных, каждая разной одной переменной (точнее корень из них второй степени). Что бы увидеть это достаточно перейти из ортонормированного базиса в базис из пары векторов, лежащих на световом конусе псевдоевклидовой плоскости.
То, что вы называете в двумерном псевдоевклидовом случае "перемешиванием" - просто следствие перехода от изотропного базиса к ортонормированному.

ИгорЪ в сообщении #500806 писал(а):

Так что или надо доказывать смешивание четырех координат БМ при конформных преобразованиях и многомерные Коши-Римана или никакой выделенности.

Если от изотропного базиса четырехмерного пространства Бервальда-Моора перейти к финслерову аналогу ортонормированного базиса, тут будет "перемешивание" не слабее, чем при аналогичном переходе в двумерном случае.
Выписать многомерные гиперболические условия Коши-Римана для четырех скалярных функций $U,V,W,Q$ задающих $h$-аналитические функции
$F(h)=U+IV+JW+KQ$
от $H_4$-чисел
$h=t+Ix+Jy+Kz$ ($I,J,K$ - гиперболические мнимые единицы, такие что $I^2=J^2=K^2=1$)
и как они выглядят в финслерово ортонормированном базисе нет никаких проблем:
$U_{,t}=V_{,x}=W_{,y}=Q_{,z}$
$U_{,x}=V_{,t}=W_{,z}=Q_{,y}$
$U_{,y}=V_{,z}=W_{,t}=Q_{,x}$
$U_{,z}=V_{,y}=W_{,x}=Q_{,t}$

Легко видеть как при переходе от четырехмерного случая к двумерному остаются обычные гиперболические условия Коши-Римана для двумерного Бервальда-Моора в ортонормированном базисе:
$U_{,t}=V_{,x}$
$U_{,x}=V_{,t}$
Давайте не говорить про выделенность, мне пока достаточно, что бы вы признали, что конформная группа четырехмерного Бервальда-Моора, как бы просто связанные с нею преобразования в некоторых базисах не выглядели, ровно ничем не "хуже" конформной группы двумерного Бервальда-Моора (он же псевдоевклидова плоскость), которая, кстати, является подгруппой первой.

[g______d]

Time, Вы практически в каждом сообщении упоминаете словосочетание "бесконечномерная конформная группа". Настолько, что уже в гугле по этим запросам сложно найти что-то кроме ссылок на "финслерову геометрию".

Можете ли Вы на примере двумерного евклидова или псевдоевклидова пространства обосновать употребление этого термина? А именно, что является элементами этой группы? Почему это группа? Почему она бесконечномерна?

[Time]

g______d в сообщении #501115 писал(а):

Time, Вы практически в каждом сообщении упоминаете словосочетание "бесконечномерная конформная группа". Настолько, что уже в гугле по этим запросам сложно найти что-то кроме ссылок на "финслерову геометрию".

Тут уж ничего не поделаешь, так как, кроме как у двумерных пространств с квадратичным типом метрики бесконечномерной конформной группы нет ни у каких многомерных плоских пространств с метрическими функциями, окромя некоторых финслеровых. А такими, в свою очередь, кроме весьма ограниченного круга людей, к которому я имею наглость причислять и себя, пока никто в мире не занимается. Даже немногочисленные специалисты по финслеровым пространствам, так как они в своем подавляющем большинстве предпочитают ограничивать свои интересами лишь группами изометрических симметрий.
Кстати, Вас не смущает, что в гугле Вы так же практически не найдете иных ссылок, кроме как на работы нашего маленького кружка, по плоским финслеровым пространствам и связанным с ними гиперкомплексным алгебрам? Это ж ведь так же "непорядок"..

g______d в сообщении #501115 писал(а):

Можете ли Вы на примере двумерного евклидова или псевдоевклидова пространства обосновать употребление этого термина? А именно, что является элементами этой группы? Почему это группа? Почему она бесконечномерна?

Вам известна теория функций комплексной переменной и ее связь с конформными преобразованиями связанной с комплексными числами геометрии евклидовой плоскости? Как Вы думаете, множество аналитических функций образует группу? А как связаны эти аналитические функции с конформными преобразованиями евклидовой плоскости - помните?
Пока, кроме Вас, из участников диалога еще никто не усомнился в бесконечной мерности и групповых свойствах конформных преобразований евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей. Народ недоумевает (да и то далеко не все) только в отношении бесконечности группы конформных преобразований многомерных финслеровых пространств имеющих связь с коммутативно-ассоциативными гиперкомплексными числами. Надеюсь, Вы не станете меня просить тут объяснить, что такое эти гиперкомплексные числа?
На счет конформных преобразований евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей, думаю, Вам так же лучше посмотреть классические источники. И факт групповой структуры соответствующего множества, и его бесконечномерность, и что является элементами этой группы - расписано, пожалуй, лет двести назад.. Во всяком случае, для евклидовой плоскоcти, ну и лет сто назад, для псевдоевклидовой. Вот если что непонятно для связанных с поличислами финслеровых пространств - спрашивайте, как смогу отвечу. Об этом Вы вряд что где еще найдете..

[g______d]

Группу образуют конформные автоморфизмы комплексной плоскости. Об этом действительно написано в любом учебнике ТФКП. Однако эта группа конечномерна и состоит из дробно-линейных преобразований.

Аналитические функции по отношению к операции композиции, разумеется, группу не образуют. Поскольку они интерпретируются как преобразования, другую групповую операцию было бы странно рассматривать.

[Time]

g______d в сообщении #501133 писал(а):

Аналитические функции по отношению к операции композиции, разумеется, группу не образуют.

Какое из свойств понятия группы нарушается для всего множества аналитических функций комплексной переменной?

[g______d]

Существование обратного элемента. Например, к функции $z^2$. Можно говорить о том, что обратная функция определена на римановой поверхности, но тогда нужно более точно определить класс функций, с которыми мы работаем. Кроме того, в последнем случае возникнут проблемы с определением композиции (из-за несоответствия областей определения).

[Time]

g______d в сообщении #501139 писал(а):

Можно говорить о том, что обратная функция определена на римановой поверхности, но тогда нужно более точно определить класс функций, с которыми мы работаем. Кроме того, в последнем случае возникнут проблемы с определением композиции (из-за несоответствия областей определения).

Понял, о чем Вы.. Согласен, что оставаясь на однолистной комплексной плоскости, обратные функции комплексной переменной определены оказываются не всегда. В связи с этим и термин группы для множества всех конформных преобразований евклидовой плоскости, строго говоря, не уместен. Еще менее в таком случае он оказывается уместным для множества h-аналитических функций двойной, тройной и т.д. поличисловой переменной, так как для таких чисел имеют место делители нуля, у которых нет обратных. Если Ваше выступление следует воспринимать как совет не использовать термин группа - согласен, что он, строго говоря, неправомерен. Примерно так же формально нельзя называть метрикой метрические функции псевдоримановых пространств, но ведь называют же и даже довольно часто.
Однако, хочу заметить, что указанный Вами формальный момент ровно никак не затрагивает главного, а именно, что множества всех конформных преобразований плоских финслеровых пространств связанных с коммутативно-ассоциативными алгебрами гиперкомплексных чисел бесконечнопараметрические, а не конечномерные как у многомерных пространств с квадратичным типом метрической функции. Для физики же, считаю, важен сам факт разнообразия непрерывных симметрий пространства предлагаемого в качестве пространства-времени, а образуют ли они группу, $n$-группу (для обобщения бинарных операций на $n$-арные) или просто некое множество, думаю, не так уж и важно..
В любом случае, спасибо за привлечение внимания к данному тонкому моменту.

[g______d]

Следующий вопрос: Вы ранее писали, что есть соответствие между обычными аналитическими функциями и h-аналитическими. Напомните, пожалуйста, как оно устроено.

[Time]

Посмотрите, пожалуйста, стр. 16-19:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... ngp-13.pdf
Там коротко, но достаточно подробно рассказано, как я и мой соавтор представляем наличие такого соответствия между аналитическими функциями комплексной переменной и h-аналитическими функциями двойной переменной.

[g______d]

Ну вот мне кажется, что такого соответствия (хоть сколько-нибудь естественного) не может быть. h-аналитических функций значительно больше. Если Вы попробуете написать явную формулу, восстанавливающую аналитическую функцию по h-аналитической, то это должно быть видно (явной формулы в статье я не нашел).

Поясню. Для задания аналитической функции достаточно задать одну функцию из $\mathbb R$ в $\mathbb C$, удовлетворяющую достаточно сильному условию (сходимость рядя Тейлора). Это то же самое, что задать пару вещественных функций с некоторым достаточно сильным условием (значительно более сильным, чем гладкость).

В то же время, согласно Лаврентьеву и Шабату, h-аналитическая функция задается парой вещественных функций, от которых требуется только гладкость (даже не факт, что бесконечная). Таких пар функций в любом разумном смысле намного больше.

[Time]

Ну, тут мне согласиться с Вами на много проще, чем в том же в случае с группами. Действительно, то, как формально определяются h-аналитические функции двойной переменной у того же Ларентьева с Шабатом, действительно, выходит, что их много больше, чем просто аналитических от комплексной переменной.
Для того, что бы на двойной плоскости был более "полноценный" аналог аналитическим функциям комплексной переменной нам пришлось искуственно сузить круг "хороших" функций от двойной переменной, введя понятие h-голоморфных функций. О них есть на странице 51 того же сборника. Просто в случае комплексной плоскости понятия аналитической и голоморфной функций, а так же связанных с ними конформных преобразований практически совпадают, а на двойной нет. На сколько я понимаю, это легко "лечится" сужением класса интересных в первую очередь с точки зрения физиков функций двойной пеменной. Было бы хуже, если б h-аналитических функций было бы много меньше аналитических и среди них невозможно бы было выделить класс h-голоморфных.
И снова тут главное не то, какое множество функций и конформных преобразований больше, на комплексной или на двойной плоскости, а то, что физических интерпретаций в терминах потенциальных и соленоидальных векторных полей возникающих на плоскости двойной переменной в их геометрическом, причем в активном смысле трактовок конформных преобразований (как это давно сделано для комплексной плоскости), а не в пассивном смысле переходов к криволинейным ортогональным координатам или в квантово-полевом смысле, практически не существует. Те же Лаврентьев и Шабат буквально пару фраз сказали о принципиальном наличии ВОЗМОЖНОСТИ такой интерпретации, но тут же предпочли заняться указанием иных, более спокойных, вариантов связанных с суперпозицией двух гладких волн.
Нас же именно такая "конформная" и связанная с активной точкой зрения на преобразования возможность физической интерпретации h-голоморфных функций в полной аналогии с соответствующими им голоморфными функциями комплексной переменной и используя почти буква в букву формализм теории комплексного потенциала, прежде всего, и заинтересовала.
Вот скажите, Вы видели хотя бы условные иллюстрации к трактовкам, пусть, некоторых конформных преобразований псевдоевклидовой плоскости как потенциальных и соленоидальных (в гиперболическом смысле соленоидальности) векторных полей в двумерном пространстве-времени? Мне не приходилось, хотя соответствующие векторные поля легко при желании строятся, например, для гиперболических аналогов точечного источника (логарифм), точечного диполя (функция $1/h$), функции Жуковского ($h+1/h$) и многих других? Можете объяснить, почему ничего этого нет?

[g______d]

Первое же утверждение в разделе 4 на странице 51 неверно. Или, если верно, поясните его, пожалуйста. Там есть ссылка на формулы (8) и (9) на странице 46, но соответствующие утверждения тоже не верны и являются стандартной ошибкой начинающих изучать ТФКП (no offense, у меня на первой лекции была та же проблема).

[Time]

Первая формула (32) в разделе 4 на стр.51, а так же формулы (8) и (9) относятся не к аналитическим или голоморфным функциям комплексной или двойной переменной, а к произвольным преобразованиям двумерного пространства в двумерное же. ТФКП тут еще даже и не при чем. Для того, что бы такое произвольное преобразование стало связаным с голоморфной или антиголоморфной функцией нужны ограничения на преобразование задаваемые условиями (10), (11) для комплексной и (33), (34) для двойной переменной.
Возможно, я не правильно понял Ваше утверждение о неверности. Дайте, пожалуйста, более развернутую формулировку, что именно Вы поняли ошибочно на первой лекции по ТФКП в связи с нашими утверждениями.. И какие утверждения, является, на Ваш взгляд, правильными, как в ТФКП, так и в теории функций двойной переменной.

[g______d]

Более серьезное замечание ко всей этой деятельности. Идея конформной инвариантности в данном случае довольно искусственная. Давайте рассмотрим простой пример: обычные скалярные функции на $\mathbb R^4$. "Метрикой" назовем скалярную функцию, не обращающуюся в ноль. Очевидно, что любые две "метрики" отличаются скалярным множителем, т. е. конформно эквивалентны. Таким образом, абсолютно любой диффеоморфизм будет конформным преобразованием.

Теперь рассмотрим ситуацию, описываемую Time. Метрика в ней --- это симметричный тензор валентности 4. При диффеоморфизме он перейдет в другой симметричный тензор валентности 4. Но расслоение таких тензоров одномерно (кажется), поэтому любые два невырожденных тензора отличаются скалярным множителем. Более того, над $\mathbb R^n$ любое расслоение тривиально, поэтому это вообще то же самое, что и пример из первого абзаца.

-- 08.11.2011, 19:32 --

Time в сообщении #501209 писал(а):

Первая формула (32) в разделе 4 на стр.51, а так же формулы (8) и (9) относятся не к аналитическим или голоморфным функциям комплексной или двойной переменной, а к произвольным преобразованиям двумерного пространства в двумерное же.

Именно так. Произвольную гладкую функцию нельзя представить в виде функции переменных $z$ и $\bar z$.