Последовательность

[Simba]

$a_i \in R^+, i=1,2,...$ Оказалось, что существует константа M, такая что: $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 < Ma_{n+1}^2$, для любого натурального $n$.

(!) Существует константа K, такая что: $a_1+a_2+a_3+...+a_n < Ka_{n+1}$, для любого натурального n.

[Хорхе]

Часом, $a_k = k$ не контрпример?

[Maslov]

Хорхе в сообщении #501032 писал(а):

Часом, $a_k = k$ не контрпример?

Дык вроде $1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \dfrac k 6 (2k^2 + 3k + 1)$ не мажорируется $M (k+1)^2$ при фиксированном $M$.

[Хорхе]

Maslov, этим оно не мажорируется, конечно, да и не надо. Оно мажорируется $M(k+1)^{\mathbf 4}$.

[Liouville]

Хорхе, Вы о чем? там же в условии $Ma_{n+1}^2$, а не в 4

[RIP]

Пусть $c=1/M$. Тогда

$$a_{n+1}^2\ge c(a_n^2+\ldots+a_1^2)\ge c(1+c)(a_{n-1}^2+\ldots+a_1^2)\ge\ldots\ge c(1+c)^m(a_{n-m}^2+\ldots+a_1^2),$$

откуда $a_{n-m}\le c_1q^ma_{n+1}$, $0\le m\le n-1$, где $c_1=c^{-1/2}$, $q=(1+c)^{-1/2}\in(0,1)$. Следовательно, можно взять $K=c_1\sum_{m=0}^\infty q^m=\dfrac{c_1}{1-q}$.

[Хорхе]

Ой да, зачем-то дважды в квдарат возвел