2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Последовательность
Сообщение08.11.2011, 10:25 


03/10/10
102
Казахстан
$a_i \in R^+, i=1,2,...$ Оказалось, что существует константа M, такая что: $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 < Ma_{n+1}^2$, для любого натурального $n$.

(!) Существует константа K, такая что: $a_1+a_2+a_3+...+a_n < Ka_{n+1}$, для любого натурального n.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность
Сообщение08.11.2011, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Часом, $a_k = k$ не контрпример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность
Сообщение08.11.2011, 11:31 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Хорхе в сообщении #501032 писал(а):
Часом, $a_k = k$ не контрпример?
Дык вроде $1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \dfrac k 6 (2k^2 + 3k + 1)$ не мажорируется $M (k+1)^2$ при фиксированном $M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность
Сообщение08.11.2011, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Maslov, этим оно не мажорируется, конечно, да и не надо. Оно мажорируется $M(k+1)^{\mathbf 4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность
Сообщение08.11.2011, 13:15 
Аватара пользователя


26/09/11
28
Saint-Omer
Хорхе, Вы о чем? там же в условии $Ma_{n+1}^2$, а не в 4

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность
Сообщение08.11.2011, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3824
Пусть $c=1/M$. Тогда
$$a_{n+1}^2\ge c(a_n^2+\ldots+a_1^2)\ge c(1+c)(a_{n-1}^2+\ldots+a_1^2)\ge\ldots\ge c(1+c)^m(a_{n-m}^2+\ldots+a_1^2),$$
откуда $a_{n-m}\le c_1q^ma_{n+1}$, $0\le m\le n-1$, где $c_1=c^{-1/2}$, $q=(1+c)^{-1/2}\in(0,1)$. Следовательно, можно взять $K=c_1\sum_{m=0}^\infty q^m=\dfrac{c_1}{1-q}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность
Сообщение08.11.2011, 13:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Ой да, зачем-то дважды в квдарат возвел :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group