А чем пользоваться можно, чтобы убедиться (догадываюсь, что использовать производную для выяснения монотонности -- тут не уместно использовать производную)
Показательная функция выпукла вниз:
![$f(\theta x+(1-\theta)y)<\theta\,f(x)+(1-\theta)f(y)\ \ (\forall\theta\in(0;1))$ $f(\theta x+(1-\theta)y)<\theta\,f(x)+(1-\theta)f(y)\ \ (\forall\theta\in(0;1))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/3/2d326ca8d466498ba567a3312dbf180982.png)
, т.е. любая хорда лежит выше соответствующего участка графика. Отсюда сразу следует, что
![$\dfrac{f(x)-f(0)}{x}$ $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/f/d6fb303be03515fc0375ebc1caa68bfa82.png)
монотонна, причём в нужную сторону, т.е. убывает при приближении к нулю справа. Это очевидно геометрически, но легко (раз уж очевидно) обосновывается и формально: если
![$0<x_1<x_2$ $0<x_1<x_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/4/c24d89ac2995368481ea9832cf8b9ae982.png)
, то
![$\dfrac{f(x_1)-f(0)}{x_1}<\dfrac{f(x_2)-f(0)}{x_2}\ \ \Leftrightarrow$ $\dfrac{f(x_1)-f(0)}{x_1}<\dfrac{f(x_2)-f(0)}{x_2}\ \ \Leftrightarrow$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/2/a12b40a0be880f957e2738c0d8132da182.png)
![$\Leftrightarrow\ \ f(x_1)\equiv f((1-\frac{x_1}{x_2})\cdot0+\frac{x_1}{x_2}\cdot x_2)<(1-\frac{x_1}{x_2})f(0)+\frac{x_1}{x_2}\,f(x_2).$ $\Leftrightarrow\ \ f(x_1)\equiv f((1-\frac{x_1}{x_2})\cdot0+\frac{x_1}{x_2}\cdot x_2)<(1-\frac{x_1}{x_2})f(0)+\frac{x_1}{x_2}\,f(x_2).$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/1/4e1f5a8f7fdf4dd40d70096ecd2157aa82.png)
Другое дело, что сама по себе выпуклость показательной функции нетривиальна и её доказательство -- это некоторая морока. Тем не менее: факт выпуклости хорошо известен ещё со школы и никаких производных не требует.