Что такое векторная запись?

[Sverest]

Что означают двойные вертикальные линии? $||x^{*}-x||<\varepsilon$
И что такое векторная запись?

[gris]

Лучше так: $\lVert x^{*}-x \rVert<\varepsilon$
Это норма вектора.

[Sverest]

Что такое норма вектора?
В каком разделе математики про это можно почитать?

[gris]

Где нормированные пространства. А векторная запись, вероятно, это ротор, дивергенция, градиент, теорема Стокса.

[Legioner93]

В курсе мат. анализа, например. Стандартная норма вектора в $\mathbb{R}^n $ это $\sqrt{x^2_1+..+x^2_n}$, то есть его длина (есть и другие нормы в $\mathbb{R}^n$). Норма - это всё, что попадает под четыре аксиомы: 1) $||x||>0$ для всех $x \ne 0$. 2) $||x||=0$ для $x=0$. 3) $||x+y|| \leqslant ||x||+||y||$ (неравенство треугольника). 4) $||ax||=a||x||$, где $a$ - число.

[olenellus]

Legioner93 в сообщении #500141 писал(а):

4) $||ax||=a||x||$, где $a$ - число.

4) $\lVert \alpha x\rVert=|\alpha|\lVert x\rVert$, если точнее

[Legioner93]

(Оффтоп)

Да, спасибо!

[Mega Sirius12]

а расстояние в псевдоевклидовой геометрии является нормой?

[olenellus]

Mega Sirius12 в сообщении #500179 писал(а):

а расстояние в псевдоевклидовой геометрии является нормой?

Нет. См. определение, которое дал Legioner93. (Если, конечно, Вы имели в виду интервал, а не что-то другое.)

[caxap]

Sverest в сообщении #500129 писал(а):

Что такое норма вектора?

Обобщение понятия "длина вектора". То есть взяли обычные геометрические векторы, что в школе проходят, и выделили главные свойства, которыми их длина обладает, и начали называть нормой все функции, которые обладают такими же свойствами. Эти 4 свойства написаны выше.

[mihailm]

Sverest в сообщении #500121 писал(а):

И что такое векторная запись?

Векторная запись - это обычно некоторое равенство где слева и справа вектора, антоним покоординатная запись

[svv]

Задам вопрос и сам же отвечу.
"А что такое покоординатная запись?"

Если заглянуть в старые книги (определенной эпохи), например, по механике, там всё в таком стиле:
$c_x=\gamma(a_x+b_x)+\beta r_x$
$c_y=\gamma(a_y+b_y)+\beta r_y$
$c_z=\gamma(a_z+b_z)+\beta r_z$
И не лень было так писать!

[Munin]

svv в сообщении #500431 писал(а):

И не лень было так писать!

Лень-то было лень, и ещё, что гораздо хуже, от постоянного переписывания таких выражений легко заводятся ошибки. Но удобной, компактной и защищающей от описок векторной нотации долго не было разработано.

Великое дело - удачная нотация! Началось всё это, конечно, ещё с позиционной записи чисел и буквенных алгебраических обозначений. И продолжается по сей день: некоторые молодые разделы теории ещё страдают от недостатков нотации, и любое улучшение принесёт богатые плоды. Хотя такие улучшения не дают сами по себе звания великого учёного...

[ewert]

Legioner93 в сообщении #500141 писал(а):

четыре аксиомы: 1) $||x||>0$ для всех $x \ne 0$. 2) $||x||=0$ для $x=0$. 3) $||x+y|| \leqslant ||x||+||y||$ (неравенство треугольника). 4) $||ax||=a||x||$, где $a$ - число.

Из этих четырёх аксиом одна лишняя. Угадайте, какая.

[gris]

Вторая? (следует из четвёртой)