Равномерная сходимость - Интегралы зависящие от параметра

[Kaspvar]

Прошу помочь решить несколько задач из Демидовича: Исследовать интегралы зависящие от параметра на равномерную сходимость:

• $F(\alpha)= \int_{-\infty}^{+\infty}\tfrac {\cos(\alpha \cdot x)}{1+x^2}dx$
  
  • $\alpha \in \mathbb R$
• $P(\alpha)= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-\alpha)^2}dx$
  
  • $a<\alpha<b$
  • $\alpha \in \mathbb R $

-- 06.11.2011, 16:36 --

Начну с первого, можно ли писать так:
$F(\alpha) = 2\cdot\int_{0}^{+\infty}\tfrac {\cos(\alpha\cdot x)}{1+x^2}dx$
Если да, то предлагаю попробовать применить признак Дирихле для НИЗП.

Насчет второго, не знаю .

-- 06.11.2011, 17:00 --

Попробую применить признак Дирихле к $F(\alpha)$:
1.$|\int_{0}^{b} \cos(\alpha\cdot x)dx | \leqslant 2,\forall b >0,\forall \alpha \in \mathbb R$
2.$\frac {1}{1+x^2} \searrow_x$, при фиксированном $\alpha$
3.а что насчет равномерного стремления к нулю $\frac{1}{1+x^2}$, при $x\rightarrow\infty$?
В обычном смысле функция конечно стремится к нулю, но я, честно говоря, не совсем понимаю как определять равномерно или нет. Наверное, здесь это достаточно очевидно...

[Хорхе]

2. Если стремится к нулю и от $\alpha$ не зависит, то сходимость равномерная.
1. Оценка интеграла неправильная, Вы кое-то забыли. Другое дело, что тут можно попроще признак применить.

[Kaspvar]

1. Признак Вейерштрасса? Как правильно оценить объясните пожалуйста. В любом случае тут нужно с исходный интеграл преобразовывать...
2. А в случае когда зависит от параметра, тогда что?

[SpBTimes]

1) первообразные должны быть ограничены в совокупности. А если $\alpha$ мал?
2) Если зависит от параметра, то нужно проверять на равномерное стремление к нулю.

У вас в первом проще оценить модуль подынтегральной функции, т.к. косинус ограничен единицей.

Во второй задаче. Экспонента убывает быстрее, чем любая степень икса.

[ewert]

1. Там тривиально -- если интеграл мажорируется сходящимся и независящим от параметра, то он сходится равномерно. Вот только вспоминать фамилию этого признака -- уж увольте.

2. Очевидно, что для изменения параметра по всей оси сходимость неравномерна, поскольку при любом конечном промежутке интегрирования можно сдвинуть этот колокольчик так, что он всё напрочь выбьет. Если же параметр зажат внутри некоторого фиксированного промежутка, то не менее очевидна сходимость равномерная -- для этого достаточно тупо (с учётом зажатости параметра) оценить хвосты интеграла.

[SpBTimes]

А, там во втором и второй случай есть, не заметил