Прошу помочь решить несколько задач из Демидовича:
Исследовать интегралы зависящие от параметра на равномерную сходимость:-- 06.11.2011, 16:36 --Начну с первого, можно ли писать так:
![$F(\alpha) = 2\cdot\int_{0}^{+\infty}\tfrac {\cos(\alpha\cdot x)}{1+x^2}dx$ $F(\alpha) = 2\cdot\int_{0}^{+\infty}\tfrac {\cos(\alpha\cdot x)}{1+x^2}dx$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/f/27fd52a1ac3c03a1bad40f61c5ad5ad382.png)
Если да, то предлагаю попробовать применить признак Дирихле для НИЗП.
Насчет второго, не знаю
![Sad :-(](./images/smilies/icon_sad.gif)
.
-- 06.11.2011, 17:00 --Попробую применить признак Дирихле к
![$F(\alpha)$ $F(\alpha)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/2/a22cedceced6f42d1d8c7c34552edfc282.png)
:
1.
![$|\int_{0}^{b} \cos(\alpha\cdot x)dx | \leqslant 2,\forall b >0,\forall \alpha \in \mathbb R$ $|\int_{0}^{b} \cos(\alpha\cdot x)dx | \leqslant 2,\forall b >0,\forall \alpha \in \mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/0/f10e16045f8635f0d0bb571860981b9f82.png)
2.
![$\frac {1}{1+x^2} \searrow_x$ $\frac {1}{1+x^2} \searrow_x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/6/986a5013973091e407ccfbd3231667f882.png)
, при фиксированном
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
3.а что насчет
равномерного стремления к нулю
![$\frac{1}{1+x^2}$ $\frac{1}{1+x^2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/e/46e09278b32cfa24ca22d0b8c3da60c082.png)
, при
![$x\rightarrow\infty$ $x\rightarrow\infty$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/c/01ce7c81beae778aeada1389a6e5892082.png)
?
В обычном смысле функция конечно стремится к нулю, но я, честно говоря, не совсем понимаю как определять равномерно или нет. Наверное, здесь это достаточно очевидно...