Неполнота относительно нормы

[purser]

Показать, что пространство $l_1$ неполно относительно нормы $\|x\|_1=\sum_{k=1}^{\infty}|x_{2k-1}|+\max_{k\geqslant1}|x_{2k}|$. Пространство $l_p=\{x=\{x_n\}_{n=1}^{\infty}| x_n\in\mathbb{R}, \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p<\infty \}$ это пространство последовательностей. В данном случае p=1.

Моя схема такая. Рассмотреть последовательность Коши в этом пространстве и показать, что её предельная точка $X^0=\{x_n^0\}_{n=1}^{\infty}$ не принадлежит этому пространству, то есть для неё $\sum_{n=1}^{\infty}|x_n^0|^p=\infty$.
Согласно данной норме и определению сходимости имеем, что для $\forall \varepsilon>0 \exists N \forall n>N \|x-X^0\|_1= \sum_{k=1}^{\infty}|x_{2k-1}-x_{2k-1}^0|+\max_{k\geqslant1}|x_{2k}-x_{2k}^0|<\varepsilon$.
Так как первое слагаемое есть сумма разностей между нечетными членами последовательностей и она сколь угодна мала, то на основании $\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p<\infty $ для членов последовательности Коши можно заключить, что и для $X^0$ верно $\sum_{n=1}^{\infty}|x_{2n-1}^0|^p<\infty $. Как разобраться с нечетными членами на основании второго слагаемого в норме пока не понимаю. Подскажите, пожалуйста !

[ewert]

Достаточно рассматривать подпространство последовательностей с ненулевыми только чётными элементами. Тогда вопрос сводится к следующему: почему $l_1$ не полно относительно $l_{\infty}$-нормы? Или, что то же: почему $l_1$ не замкнуто в $l_{\infty}$?

Потому, что замыкание $l_1$ в $l_{\infty}$ известно -- это $c_0$ (пространство стремящихся к нулю последовательностей). И оно вовсе не совпадает с $l_1$.

[purser]

Спасибо большое.
Как показать, что $\overline{l_1}=c_0$ в $l_\infty$ ?

[ewert]

purser в сообщении #500056 писал(а):

Как показать, что $\overline{l_1}=c_0$ в $l_\infty$ ?

Через множество финитных последовательностей -- оно плотно (относительно равномерной нормы) как в $l_1$, так и в $c_0$.

Но вообще-то, раз у Вас конкретная задачка, то проще использовать всё, что я сказал, лишь как наводящие соображения. Возьмите любой элемент $\vec x$, все нечётные компоненты которого равны нулю, а все чётные стремятся к нулю, но настолько медленно, чтобы этот элемент не входил в $l_1$. И рассмотрите последовательность финитных срезок $\vec x_n$ этого элемента, т.е. таких, у которых первые $n$ компонент те же, что и у $\vec x$, а все дальнейшие равны нулю. Очень легко доказывается, что на этой последовательности полнота $l_1$ относительно предложенной Вам нормы нарушается.

[purser]

Красиво, ничего не скажешь..., спасибо ещё раз