Снизу оценка (на максимальную площадь выпуклой фигуры с максимальным треугольником площади

) у меня получается

(для пятиугольника), а сверху

. Вот пока так.
-- Чт ноя 03, 2011 23:16:41 --Чего-то брежу. Для круга все же побольше. Где-то 2.41, но все же меньше, чем 8/3.
-- Чт ноя 03, 2011 23:29:10 --Ага, ну ладно, доказываем оптимальность круга. Возьмем прямую

и симметризуем относительно нее нашу фигуру. (Кто вдруг не знает - симметризация означает, что мы разрезаем фигуру на отрезки, перпендикулярные прямой и выравниваем по этой прямой серединки отрезков.) Докажем, что при этом площадь наибольшего треугольника не увеличилась. Вот пусть в симметризованной фигуре есть треугольник

. Докажем, что в исходной фигуре был треугольник не меньшей площади. Возьмем симметричный относительно

треугольник

и посмотрим, как менялась их площадь при симметризации. А менялась она, как легко видеть, одинаково, только с разными знаками. А это значит, что у кого-то из них площадь не увеличилась.
Дальше можно сказать, что мы "симметризуем относительно всех направлений и получим круг", не увеличив площадь наибольшего треугольника, но это не строго. Хотя понятно, что truth is out there.