Вписанный треугольник наибольшей площади.

[yvanko]

Не могу найти решения следующей задачи: Какое минимальное значение может иметь площадь треугольника наибольшей площади, вписанного в выпуклое тело площади $1$?

[Sonic86]

Попробую так:
Поскольку при аффинных преобразованиях площадь и выпуклость тела не меняется, то можем считать, что треугольник правильный. Пусть треугольник $\Delta ABC$ вписан в выпуклое тело $O$. Опишем около $\Delta ABC$ правильный треугольник $\Delta DEF$, для которого точки $A,B,C$ - середины сторон $\Delta DEF$ ($\Delta DEF$ единственный). Тогда $O$ лежит внутри $\Delta DEF$, иначе $O$ невыпуклое. Тогда, если $O \neq \Delta DEF$, то отношение $\frac{S(\Delta ABC)}{S(O)} \geqslant \frac{S(\Delta DEF)}{S(O)}$ - треугольник $\Delta DEF$ как вписанный в $O$ имеет не минимальную площадь. А в случае $O = \Delta DEF$ получаем, что $S(\Delta ABC) = \frac{1}{4}$.

[Sender]

Sonic86 в сообщении #498757 писал(а):

А в случае $O = \Delta DEF$ получаем, что $S(\Delta ABC) = \frac{1}{4}$.

Но ведь в случае $O = \Delta DEF$ вписанным треугольником наибольшей площади будет сам $\Delta DEF$.

[Хорхе]

Вот моя идея :)

Надо (в смысле, хочется) доказать, что при симметризации этой фигуры относительно прямой площадь наибольшего треугольника не увеличивается. Достаточно это доказать для выпуклого шестиугольника $ABCDEF$, в котором $AF, BE, CD$ перпендикулярны прямой симметризации. Проверьте, Ваня, это вообще правда? У самого времени пока нет подумать.

[Хорхе]

Агаа! Так круг - это неправильно! Правильно - квадрат! Так тогда, наверное, легко доказать. Сейчас усё будет, Ваня. Я надеюсь :)

-- Чт ноя 03, 2011 22:00:40 --

Ой, снова брехня. В пятиугольнике-то еще меньше!

[Хорхе]

Снизу оценка (на максимальную площадь выпуклой фигуры с максимальным треугольником площади $1$) у меня получается $\sqrt{5}$ (для пятиугольника), а сверху $8/3$. Вот пока так.

-- Чт ноя 03, 2011 23:16:41 --

Чего-то брежу. Для круга все же побольше. Где-то 2.41, но все же меньше, чем 8/3.

-- Чт ноя 03, 2011 23:29:10 --

Ага, ну ладно, доказываем оптимальность круга. Возьмем прямую $l$ и симметризуем относительно нее нашу фигуру. (Кто вдруг не знает - симметризация означает, что мы разрезаем фигуру на отрезки, перпендикулярные прямой и выравниваем по этой прямой серединки отрезков.) Докажем, что при этом площадь наибольшего треугольника не увеличилась. Вот пусть в симметризованной фигуре есть треугольник $ABC$. Докажем, что в исходной фигуре был треугольник не меньшей площади. Возьмем симметричный относительно $l$ треугольник $A'B'C'$ и посмотрим, как менялась их площадь при симметризации. А менялась она, как легко видеть, одинаково, только с разными знаками. А это значит, что у кого-то из них площадь не увеличилась.

Дальше можно сказать, что мы "симметризуем относительно всех направлений и получим круг", не увеличив площадь наибольшего треугольника, но это не строго. Хотя понятно, что truth is out there.

[yvanko]

Да, красиво, только теперь надо голову над симметризацией до круга ломать =) Спасибо!