Граничная задача

[AVUS]

Подскажите пожалуйста каким методом воспользоваться для вычисления интеграла
$ \int_V (\nabla \phi)^2 d^3x $ где поле $ \phi $ удовлетворяет уравнению Лапласа $\nabla^2 \phi=0$ в области $V$ ограниченной поверхностью вращения кривой $ r=r(z)=ch(z)$ с граничным условием отсутствия потока через поверхность $(n \nabla \phi =0)$, n - нормаль к поверхности. Входящий поток предполагается единичным

[LynxGAV]

Договаривайте..
Cистема координат? $r$ - это сферический радиус или полярный? Это задача по мат. физике или векторному анализу?

[LynxGAV]

Либо же Вы чего-то недосказали, либо же я чего-то не поняла.

Совершенно не используя саму задачу, считаем интеграл.
(Если надо показать как это получается, то я напишу.)
$\int\limits_{V}\left(\nabla \phi\right)^2 dV = \int\limits_{V} div \left(\phi \nabla \phi\right) dV - \int\limits_{V} \phi \triangle \phi dV$$=\oint\limits_S \left(\phi \nabla \phi\right) d \vec S - \int\limits_V \phi \triangle \phi dV$
А теперь внимательно присмотритесь к этому равенству...Не упадите только...Выходит, что Ваш интеграл равен нулю. Я думала, где тут подвох. Интеграл по поверхности еще проходит по той части поверхности, которая на бесконечности. Этот ответ стопроцентно верен, если на бесконечности, там где граница нашего объема на бесконечности, поле стремится к нулю. (Самая что ни есть порядочная физическая постановка задачи, все физические величины на бесконечности нуль.) У нас получается, что есть однородное уравнение, однородные ГУ второго рода. Если $\phi$ - вещественное, то решение этого уравнения в этой дурацкой области - из того что мы сейчас рассмотрели - константа.

[Я не думаю, что Вам так сформулировали задачу, но этот момент интересен с точки зрения физики. А может тогда надо комплекснозначное решение иметь в виду? Eсли полагать, что $\phi$ - комплексное поле, тогда из того что $\int\limits_{V}\left(\nabla \phi\right)^2 dV = 0$ не следует, что $\nabla\phi = 0$ в каждой точке.
Eсли $\phi$ комплексная, то:
1) Поток записывается иначе;
2) Гран. условие соответственно;
3) Я почти уверена, что если посмотреть на интеграл от модуля $\nabla\phi$ в квадрате, он будет также равен нулю;
4) Тогда решение уравнения - тоже константа во всей области, только комплексная.]

Cамо поле на бесконечности должно стремиться к нулю. Хоть бы поле было и не физично,
все равно такие решения, которые другие - никому не нужны. (Вообще говоря, есть решения, наверное, которые расходятся на бесконечности. Даже должны быть. Ну и что тогда?)

Вообще-то Вы даже не написали, что значит $r$ и вокруг какой оси вращать кривую. Я себе представила $r$ как в цилиндрической системе координат, после чего мысленно повращала и получила вытянутую "чашу", у которой нет "крыши". (Вокруг другой оси будет что-то наподобие "диска" для колеса.)

Вот там, где "крыша", поле или равно нулю - тогда все равно интеграл ноль и все как раньше - или не ноль, и тогда все плохо. Если не ноль, то я думаю, что решение скорее всего такое, что бесконечно на бесконечности, так что интеграл расходится и вопрос теряет смысл.

Надеюсь, что не попуталась где-то в самом начале.
Не плохо было бы построить эти фигуры (для сферич. и цил. систем координат и вращения вокруг разных осей, пока Вы не скажете, что же все-таки подразумевается в задаче), к сожалению, мне надо потратить много времени, чтобы разобраться как это сделать, поэтому я этого делать не буду.

[А почему только одно ГУ? Для решения задачи надо бы два, но для вычисления самого интеграла пройдет и одно.]

[AVUS]

Спасибо за внимание к задаче. Наверное необходимы дополнительные уточнения. Но-существу рассматривается трубка переменного диаметра в виде горловины, обладающая цилиндрической симметрией с минимальным диаметром в точке $z=0$. Поверхность трубки получается при вращении кривой $y=ch(z)$ вокруг оси z. В цилиндрических координатах уравнение поверхности суть $r=ch(z)$ и не зависит от полярного угла. В эту трубку из бесконечности втекает идеальная жидкость, характеризующаяся единичным потоком, $\int_0^{ch(z)}\nabla_z \phi rdr=1$. Требуется найти энергию этого потока, которая отлична от нуля. Более общий вопрос состоит в том, какими методами (численными) решаются подобные задачи. Может быть существуют программы.

[LynxGAV]

Хорошо, что выяснилось (почему Вы сразу не указываете? ведь не так легко догадаться..), что это задача гидродинамики, потому что я представляла всё, но только не потенциальное течение жидкости. (Её бы надо в форум физики по идее.)
Сама крайне редко считаю численно и моделирую, но знаю, что есть такой пакет ANSYS/CFX, в котором впринципе решаются любые гидрогазодинамические задачи. (Но надо быть предельно внимательным, потому что иногда могут навешать "лапши", хотя вроде как даже инженеры ей пользуются..) В случае идеальной жидкости скорее всего придется убрать параметры вязкости и пр. (Или выставить их минимально допустимыми программой.) Обо всем этом, если Вы хорошо опишите задачу, возможно (может быть, не знаю) Вам подскажут на форуме.
По теме, как никогда, богатый выбор литературы. Поскольку в основном явления не линейные, есть специальные численные методы. Что тут перечислять, наберите хотя бы в поиске библиотеки, при которой числится данный форум, - "гидродинамика".
Теперь у меня вопрос к Вам. Вы получили аналитическое выражение для потенциала? Как я вижу задачу чисто теоретически: цилиндрическая система тут не прокатит не смотря на симметрию и однородную задачу Неймана, причем при таком подходе она отнюдь не кажется простой. С другой стороны, ведь каких только труб не бывает на свете, а для них все просчитывают, очевидно, потому, что решают другими методами. Может можно и задачу саму не решать, а просто "повозиться" с выражениями, ведь интересует энергия?
Прикидка: скорость очень быстро стремится к нулю на бесконечности из-за экспоненциального роста дырки с z, а потенциал из-за этого стремится к константе. (В трубе постоянного сечения было бы что скорость постоянна, а потенциал линейно растет на бесконечность. Если бы сечение вело себя как 1/x, потенциал рос бы логарифмически).
Интеграл, взятый через бесконечно удаленную поверхность: $\int_{S_\infty} (\phi \nabla \phi)d\vec S$=примерно, асимтотически $= {\int_{S_\infty} \vec v_{\infty} d\vec S} *\phi_{\infty} =$$\text {ПОЛНЫЙ ПОТОК}* \frac {2\phi_{\infty}}{\rho}$.Через вторую беск. удаленную поверхность будет тот же интеграл только с $\phi_{-\infty}$. То есть нужна асимптотика на бесконечности.
Вот подучилась строить в 3Д. Спасибо за энергию на раскачку =).


Решила дописать, даже если такой вариант Вам не пройдет.
Можно записать лапласиан в цил. системе координат. Можно решать методом Фурье и получить выражение с неким набором констант, по $z$ и $\phi$ ладно, а вот по $r$ c ГУ ничего не выйдет. Поэтому надо перейти в д...ную (вопрос еще как) ортогональную систему координат, в которой поверхность трубки является координатной поверхностью. Посчитать коэффициенты Ламэ, написать новый лапласиан. При решении задачи очень вероятно ни к каким известным спец. функциям не прийти (или их не угадать), тогда искать решение в виде ряда. Неужели так считают гидромеханики или такое дают в авиационных институтах?
PS В потоке Вы забыли 2pi (?), в энергии плотн..ладно. В мат. физике пока нет уравнения, г.у. и пределов изменения переменных (то есть помимо поверхности, задается еще и область - внутр. или внешняя..), объединенных одной скобкой - всё остальное - слова. Не злитесь только на меня...У нас, по-видимому, разные специальности...Честно, хотела бы помочь, но ничего более практично-прикладного на ум не приходит. Если Вы посчитали, то как? В двух словах.

[AVUS]

Общее решение для потенциала при $z\geqslant 0$ (в силу симметрии можно ограничиться этим случаем) имеет вид разложения $\phi = \sum\limits_{\lambda} a(\lambda) e^{-\lambda z} J_0(\lambda r)$ где $J_0(.)$ - функция Бесселя первого рода. В данном случае спектр непрерывен, посему граничное условие переписывается в виде интегрального уравнения на коэффициенты $a(\lambda). Если ограничиться $z\leqslant A$, то спектр становится дискретным и мы получаем ряд. Далее можно взять несколько первых членов ряда и найти соответствующие коэффициенты разложения через граничные условия, которые теперь представляет собой систему линейных уравнений если разбить отрезок $0\leqslant z\leqslant A$ на участки (+ условие на поток). Попытаюсь реализовать эту схему с использованием стандартных математических пакетов (нет желания разбираться в специализированных программах!). Правда не совсем понятен вопрос точности.

[LynxGAV]

Тогда такой вопрос.

Почему такой вид разложения понятно: и затухание и функция Бесселя. (Она по-любому "выползает".)

Этот метод напоминает метод собственных функций для нестационарных задач(?).

Не практично, но все-таки. Теоретически, можно ли решать в другой системе или нет? Тогда задача получится очень красивая.

И как решать задачу, если трубка другая? Опять же в зависимости от геометрии?

Oтродясь не решала ничего по гидродинамике.

[AVUS]

Для того я и открыл эту тему здесь чтобы выяснить существуют ли красивые методы решения такого рода задач (ибо не являюсь специалистом в области механики жидкостей!).

[LynxGAV]

Может кто-то из математиков свежим взглядом посмотрит и скажет, что не так. (Не обязательно знать, как решать задачу .)

Хочу перейти в такую ортогональную систему координат, в которой поверхность трубки (см. выше рис.) будет координатной поверхностью. Введу некоторую новую переменную следующим образом $\xi = \xi(r,z) = 1 - \frac {r}{\ch z}$. Дальше ищу вторую переменную $\theta = \theta(r,z)$ из условия перпендикулярности семейств кривых $\nabla_{rz}\xi(r,z)\nabla_{rz}\theta(r,z)=0$. Данный дифур в ЧП относительно $\theta$: $ \frac{1}{\ch z}\frac {\partial \theta}{\partial r} = \frac {r \th z}{\ch z}\frac {\partial \theta}{\partial z}$ можно решить, представляя неизвестную функцию в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной $\theta (r,z) = R(r) Z(z)$. Итак, разделяя переменные, $\frac {1}{r R(r)} \frac {d R(r)}{dr} = \frac {\th z}{Z(z)} \frac{dZ}{dz} = const$, решение будет $\theta (r, z)=A e^{const(\frac{r^{2}}{2}+\int \cth z dz)} + B$, где $A$, $B$, $const$ - постоянные, их можно выбирать произвольно, тем самым упрощая себе жизнь.
Получается следующая система:
$\xi = 1 - \frac {\sqrt {x^2 + y^2}}{\ch z}$,
$\theta = \sh z e^{\frac {x^2 + y^2}{2}}$,
$\varphi = \arctg \frac {y}{x}$.
Внутренняя область трубки от $\xi=0$ (поверхность) до $\xi=1$ (ось); $\varphi \in [0,2\pi)$; $\theta \in (-\infty, + \infty)$ ($\theta=0$ - горловина).
Для $\xi$ и $\theta$ будет такой пейзаж:

Вопрос следующий: в этой новой системе мне надо найти лапласиан, который очень просто вычисляется, если буду знать явную зависимость радиус-вектора $\vec r$ от \xi, \theta и \varphi: $\vec r = (x (\xi, \theta, \varphi), y(\xi, \theta, \varphi), z(\xi, \theta, \varphi))$.

Как это сделать?
Может быть есть еще какой-то способ найти лапласиан? (Я думаю через коэффициенты Ламэ $h_{\xi}=\left|\frac {\partial \vec r}{\partial \xi}\right|$, $h_{\theta}=\left|\frac {\partial \vec r}{\partial \theta}\right|$, $h_{\varphi}=\left|\frac {\partial \vec r}{\partial \varphi}\right|$.)
Какой другой выбор переменных может быть? (Очевидно, что при подобном выборе из условия ортогональности так или иначе вылазит экспонента, которая ни в тын ни в ворота..)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вообще, конечно, странно. Неужели никто ничего численно не считает? Никто не знает численных методов? Ведь именно это интересует AVUS. (И физика далековааато..)

Тебе поверхность трубки ничего не напоминает?
А мне сильно что-то из ОТО, космологии..
Слушай, а если я знаю метрику, то я знаю всё (смейся или нет, а в Einstein-Rosen bridge первый элемент имеет экспоненциальную зависимость).
"Горловина": $r=2m$ .

[Аурелиано Буэндиа]

Hi LynxGAV. Мне нужно кое-что понять. Ответь на один вопрос: а зачем тебе ортогональность новых координат $\xi$ и $\theta$?
Ты надеешься, что получишь оператор Лапласа в котором удастся разделить переменные?

Как, совершенно справедливо, заметила LynxGAV
$\int\limits_{V}\left(\nabla \phi\right)^2 dV = (\int\limits_{z=\infty}+\int\limits_{z=-\infty}}) \phi \nabla \phi\right d \vec S
и задачу можно решать через нахождение решения ур. Лапласа с требуемыми гр.
условиями. Можно численно, например, сеточными методами. Но насколько это элегантно?
Не знаю. У меня возникает вопрос какая нужна точность для энергии? Все упирается в
вопрос для чего это? ...
Но оценить энергию достаточно просто
жидкость идеальная (кстати Вы не говорили но по-видимому Вы имели в виду
идеальную несжимаемую), поэтому, по всей видимости, в первом приближении можно считать, что $u_z$ зависит только от $z$ и что поток $\pi \hbox{ch}^2(z) u(z)=\hbox{const}=1$ (это по условию)
отсюда сразу находим, что $\int\limits_{V} (\nabla \phi)^2 d^3x \simeq \frac{2}{\pi}$

PS. Сходство с мостом Э-Р чисто внешнее. Так Flamm's paraboloid, который его описывает
имеет уравнение $r=1+z^2$, ($2m=1$)

[LynxGAV]

Если есть параболоид Флемма, то почему не быть трубке А. Гав .
А серьезно, очевидно, что таким методом подобные задачи не решаются, но меня, как ты заметил, уже не интересует сама задача, а некоторые ее приложения. Интересует общий принцип введения ортогональных систем координат в самых общих задачах со сколько-нибудь порядочной симметрией.

[LynxGAV]

Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семёнов А.Ю. — Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений.

В "граничной задаче" - ей место.