сумма ряда

[max(Im)]

xni
Да, именно с левой частью и проблема.
И кстати, догадаться, из чего выводится это тождество, по-моему, просто так нереально.
Хотя понятно как.

Хорхе

Хорхе в сообщении #499703 писал(а):

В левой части выйдет то же самое, только намного проще.

Вот насчет намного проще как-то не получается.
Идея в том, что тут произведение рядов. Собственно это подтверждает xni.
Если у нас есть $\left(\sum a_i\right)\left(\sum b_j\right)$ то в результате имеем ряд, у которого при $x^m$ стоит $\sum\limits_sa_sb_{m-s}.$ Проблема в том, чтобы найти исходные ряды. Как получить ряд, у которого коэффициент $C_{p+s}^s$ -- понятно (собственно из $(1-x^2)^{-p-1}$ это можно вытащить, причем квадрат я беру чтобы потом было удобно брать $2s.$) Но потом проблема! Невозможно найти такую $f(m),$ что $f(m-2s)=C_{2p+m}^{2p+2s}=C_{2p+m}^{m-2s}.$ Как быть с этим?

[Хорхе]

Да все там просто. Буковка $m$ только во втором сомножителе. Когда по $m$ просуммируете его с $x^m$, получится, навскидку, $x^{2s} (1-x)^{-2p-2s-1} $. А дальше по $s$ просуммировать несложно.

[max(Im)]

О, и правда!
Спасибо!
Однако, нетривиально вышло...

[xni]

Хорхе
Не могли бы Вы немного поподробнее, пожалуйста?

Как точно заметил max(Im), в правой части у нас стоит коэффициент перед какой-то степенью $x$ в выражении $\frac{1-x}{(1-2x)^{p+1}}$.
Судя по Вашему предыдущему сообщению, вы предлагаете представить левую часть как $(1-x^2)^p x^{-2p-1}$, что после разложения в ряд, даст коэффициент перед $x^m$ равный $\sum x^{2s} (1-x)^{m-2s}$. Не понимаю

[max(Im)]

xni
Возьмите левую часть доказываемого неравенства и просуммируйте ее по $m.$ Причем сначала именно по $m$, а внешняя сумма по $s.$ Там хорошо посчитается. А то, что останется - суммируйте по $s.$