Про ряд Тейлора функции, который сходится, но не к ней

[BVR]

Помогите найти пример функции, ряд Тейлора (Маклорена) которой сходится, но не к ней. Причем, хотелось бы, чтобы он сходился к этой функции в окрестности точки $x_0$. А в остальной части области его сходимости, его сумма была не равна $f(x)$.
В Геллбауме и Олмстеде есть пример "Функции, ряд Маклорена которой сходится всюду, однако представляет функцию лишь в одной точке" (гл. 6, п. 23). Но хотелось бы, чтобы это было не в одной точке.
Тут, видимо, остаточный член в ф-ле Тейлора должен не стремиться к нулю. Ну еще, что в голову приходит - все производные этой функции ограничены одним и тем же числом в некоторой окрестности точки $x_0$, а в остальной части области сходимости они одним и тем же числом не ограничены. Только как подобраться к конкретному примеру? Никак не соображается что-то.
Может посоветуете, где про это почитать или кто-то знает такой пример.
Спасибо.

-- Сб ноя 05, 2011 17:37:01 --

P. S. На первом курсе приходится пропускать доказательства большинства теорем, но я стараюсь вместо этого приводить много примеров и контрпримеров "таких, но не таких". А тут что-то вот буксанул..

[ewert]

BVR в сообщении #499711 писал(а):

В Геллбауме и Олмстеде есть пример "Функции, ряд Маклорена которой сходится всюду, однако представляет функцию лишь в одной точке" (гл. 6, п. 23). Но хотелось бы, чтобы это было не в одной точке.

Да попросту раздвиньте эту функцию влево и вправо так, чтобы она была тождественным нулём во всей окрестности, а не только в центре.

[gris]

А какие ограничения накладываются на функцию?
Для той же самой $y=e^{-1/x^2}, x>0; 0, x\leqslant 0$ ряд Тейлора с центром в отрицательной точке сходится к нулю, то есть к ней самой в окрестности этой точки.
А если не нужна гладкость, то любую аналитическую функцию немного согнуть.

[BVR]

Просто доопределить нулем, поскольку ряд Маклорена сходится к нулевой функции?
Хотелось бы менее "искусственную".
gris
Ну, хотелось бы привести эффектный пример... Ограничений на функцию я не вижу - только требование бесконечной дифференцируемости.
Ну вот есть же функции, например, $e^x$, так еёный ряд Маклорена сходится к ней на всем R. А тут хотелось бы, чтобы функция разложилась в ряд в окрестности точки и ряд Тейлора сходится, но не везде к ней.

[ewert]

gris в сообщении #499716 писал(а):

А если не нужна гладкость, то любую аналитическую функцию немного согнуть.

Естественно, нужна бесконечная дифференцируемость. Речь-то ведь именно о том, что дажё бесконечная гладкость ещё не гарантирует разложимости в ряд; если же гладкости нет, то и никакого стимула выдумывать контрпримеры не возникает.

-- Сб ноя 05, 2011 16:05:11 --

BVR в сообщении #499719 писал(а):

Просто доопределить нулем, поскольку ряд Маклорена сходится к нулевой функции?
Хотелось бы менее "искусственную".

Что значит "менее искусственную"?... Любой такого рода контрпример будет сводиться примерно к этому же, если вычесть из функции её ряд Тейлора. Или, что то же самое: не нравится, что функция в окрестности равна именно нулю -- так просто прибавьте к ней любую целую, ну хотя бы синус или ту же экспоненту.

[gris]

Ну тогда все основные (гладкие финитные) функции подойдут. В сумме с просто гладкими.
А вот $y=\dfrac 1 {1+x^2}$ не подойдёт? Нет, тут ряд не сходится вдалеке от нуля.

[ewert]

gris в сообщении #499723 писал(а):

Ну тогда все основные (гладкие финитные) функции подойдут. В сумме с просто гладкими.

Не, не подойдут. Например, не подойдёт $e^{-\frac{1}{(1-x^2)^2}}$.

[gris]

Я имел в виду ряд Тейлора с центром в точке, в окрестности которой функция равна 0.

[ewert]

gris в сообщении #499723 писал(а):

В сумме с просто гладкими.

Вот "просто гладкость" -- всё и испортит, какой-то зародыш целости быть всё-таки должен. Скажем, тождественный ноль.

[gris]

Может быть я не так понял условие?
Надо построить пример функции, которая всюду бесконечно дифференцируема, но существует точка, для которой ряд тейлора с центром в этой точке сходится везде, в некоторой окрестности точки именно к функции, а вне этой окрестности существует точка, в которой значения функции и того ряда различаются.
Вот если взять красивую функцию, а к ней прибавить б\д финитную, так, чтобы её интервал ненулёвости не содержал центра ряда тейлора, то мы получим то, что нужно. Разве нет?

Я имею в виду, что на аналитической функции вполне можно устроить бесконечно дифференцируемый прыщик достаточно далеко от рассматриваемой точки.

Кажется дошло, что целая это и есть аналитическая везде. Ну да, это я и имел в виду.

Да, да, я просто немного запутался.

[ewert]

gris в сообщении #499737 писал(а):

Вот если взять красивую функцию, а к ней прибавить б\д финитную, так, чтобы её интервал ненулёвости не содержал центра ряда тейлора, то мы получим то, что нужно. Разве нет?

Так, так, я уж сколько часов секунд об этом толкую. Только почему финитную-то?... Скорее уж "контрфинитную". Ибо сказано в запросе:

BVR в сообщении #499711 писал(а):

А в остальной части области его сходимости, его сумма была не равна $f(x)$.

[gris]

(Оффтоп)

Я в восторженном оцепенении!
Слово "контрфинитная" не находит (пока) даже гугл.
Сразу вспомнилось известное слово с десятью согласными подряд.

(2Praded)

Боюсь гнева модераторов. Но начинается тоже на контр...

[Praded]

(Оффтоп)

gris в сообщении #499745 писал(а):

Сразу вспомнилось известное слово с десятью согласными подряд.

Про слово из 10 букв с 7 согласными подряд знаю. Это глагол, начинающийся на букву "в" и заканчивающийся на "ь". Хотелось бы обозреть ваш уникум.

[BVR]

Тут вот еще подумалось, что просто продолжить доопределние функции $y=e^{-1/x^2}$ за ноль не получается. Там непрерывность нарушится.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #499745 писал(а):

Слово "контрфинитная" не находит (пока) даже гугл.

А давайте на спор протянем эту ветку ещё страничек на 20 -- тогда даже и гугл найдёт!