Кроме того, у меня сильное подозрение, что он сбежал из "Математики", где его модераторы уже взяли на прицел.
Спешу Вас разочаровать. Я не только не сбежал из "Математики", но наоборот собираюсь там нарисоваться с той же темой, но уже с упором на такие, понятия, как неаксиоматизируемость геометрии и интранзитивность отношения эквивалентности, которые не встретили здесь понимания. Впрочем, перед этим я сделаю попытку (скорее всего последнюю) неформально объяснить эти понятия, не прибегая к формулам.
Все почему-то считают, что изложение евклидовой геометрии в виде логического построения имеет какой-то глубокий смысл, и все теоретические концепции следует излагать в виде логического построения, когда из конечного числа основных положений (аксиом) выводят все остальные утверждения теории. Разумеется, когда есть возможность изложить теорию в виде нескольких аксиом (а все остальное списать на логику), то это хорошо и удобно. Однако, при этом возникает вопрос, а всегда ли можно это сделать! Оказывается, что это можно сделать не всегда, но когда говоришь об этом, то тебя принимают за сумасшедшего.
Вернемся к Евклиду, и попробуем понять, почему ему удалось свести формулировку евклидовой геометрии к системе из нескольких аксиом, а построение геометрических объектов (образующее геометрию) является логическим следствием аксиом и определений этих геометрических объектов. Евклид обратил внимание на то, что любой геометрический объект может быть построен из некоторого числа блоков трех сортов (точка, отрезок прямой, угол). Имеются правила комбинации этих блоков при построении геометрических объектов. Число этих правил конечно, как и число утверждений, описывающих свойства блоков. Евклид сформулировал все правила в виде логического построения. Почему в виде логического построения? Скорее всего, потому, что такое построение имело наиболее наукообразный вид. Ведь в древней Греции логики считались мудрецами наивысшей категории.
Прошла пара тысячелетий, установилась традиция. Любую теоретическую концепцию старались представить в виде логического построения. Почему? Потому что альтернативы не было. Других способов построения теоретических концепций просто не знали. Постепенно неумение строить теоретические концепции в виде отличном от логического построения переросла в уверенность, что НЕ СУЩЕСТВУЕТ другого способа построения теоретических концепций, отличного от логического построения.
Евклидова геометрия основывается на возможности построить геометрический объект из конечного числа блоков. Но рассмотрим альтернативу, когда такой возможности нет. Например, в случае евклидовой геометрии куб может быть полностью заполнен отрезками прямой, длина которых равна ребру куба, и расположенных внутри куба плотно один к другому параллельно одному из ребер куба. При таком расположении отрезков каждая точка внутри куба будет принадлежать одному и только одному из отрезков, заполняющих куб. В этом примере мы реализуем возможность построения геометрического оъекта из блоков (отрезков прямой).
Представим себе теперь, что вместо отрезков прямой мы имеем полые трубки. Совершенно ясно, что в этом случае нам не удастся заполнить куб (пусть даже искаженный) отрезками полых трубок так, чтобы каждая точка куба принадлежала одной и только одной точке одной трубки. Это будет означать, что не всякий геометрический объект может быть построен из трех сортов блоков (точка, отрезок прямой (трубки), угол). Однако из одних точек куб все же может быть построен, но это уже совсем другая ситуация.
Итак, геометрия, в которой вместо отрезков прямой полые трубки, уже не может быть построена в виде логического построения. Это я к тому, чтобы показать, откуда берется неаксиоматизируемость геометрии, полученной из евклидовой геометрии путем ее деформации, при которой одномерные отрезки прямой переходят в полые трубки, т.е. неодномерные множества.
Как выглядит деформация пространства (т.е. изменение расстояния между точками), которая переводит отрезок одномерной прямой в полую трубку? Представьте себе отрезки прямой стальной проволоки одинаковой длины, сложенные в пучок. Этот пучок будет символизировать отрезок прямой в евклидовой геометрии. Возьмемся за концы пучка и будем их сближать. Проволоки пучка будут растопыриваться образуя полую сигарообразную поверхность. Это будет наглядный аналог отрезка прямой в деформированной евклидовой геометрии.
У реальных тел мы не наблюдаем подобных деформаций. Нарисуем прямые линии на плоском листе жести. Ударим несколько раз молотком по листу жести, сминая его. Прямые искривятся, но в трубки не превратятся. Это связано с тем, что толщина прямых увеличивается при деформации, которую мы применяли к пучку проволоки и таких деформаций не может быть в сплошном твердом теле. Однако, абстрактно говоря, такие деформации возможны в принципе при получении дискретной геометрии из евклидовой геометрии путем ее деформации. Именно так и получается на деле. В результате геометрия оказывается неаксиоматизируемой. Кроме того, возникает многовариантность эквивалентности векторов, порождающая интранзитивность отношения эквивалентности.
Все это изложено формально математически в заглавном файле рассматриваемой темы. Но, по-видимому, большинство участников форума, либо просто не читали все это (заглавный пост достаточно длинный), либо читали с твердым предубеждением, что все это бред.
Однако, если нельзя строить дискретную геометрию на основе вывода из аксиом, то как же ее все-таки строить? Ответ простой. Дискретная геометрия строится с опорой на формализм собственно евклидовой геометрии. Этот формализм должен быт сформулирован в терминах такой величины, которая имеет смысл и четко определена, как в евклидовой, так и в деформированной геометрии. Такая величина только одна. Это мировая функция или функция расстояния, что одно и тоже, поскольку каждая из них является функцией другой. Собственно евклидова геометрия представляется в терминах мировой функции, при этом вид мировой функции используется как параметр. После этого параметр представления (вид мировой функции) меняется. Во всех определениях евклидовой геометрии мировая функция евклидовой геометрии заменяется на мировую функцию дискретной геометрии. Получаются все определения дискретной геометрии. Из этих определений и явного вида мировой функции дискретной геометрии рассчитываются все утверждения дискретной геометрии. Не нужно удивляться, что они получаются отличными от соответствующих утверждений евклидовой геометрии (Ведь мировая функция другая!)
Что касается всяких обоснований в виде доказательства разных теорем, то все это лишнее. Формализм работает и без теорем, а для исследования свойств пространства-времени главное – это формализм. Я десять лет успешно работал с этим формализмом, не подозревая, что работаю с неаксиоматизируемой геометрией. Вот такие пироги!
. Тогда в геометрии тоже появляется минимальное расстояние. Но при этом множество, на котором задана геометрия, остается прежним, но расстояния между точками изменяются. Иными словами, геометрия деформируется. Это уже не евклидова геометрия. У нее другие свойства. Если при этом новая функция расстояния является (однозначной) функцией от старой (евклидовой) функции расстояния, то полученная дискретная геометрия остается однородной и изотропной (как евклидова геометрия). 
. Тогда в геометрии тоже появляется минимальное расстояние. Но при этом множество, на котором задана геометрия, остается прежним, но расстояния между точками изменяются. Иными словами, геометрия деформируется. Это уже не евклидова геометрия. У нее другие свойства. Если при этом новая функция расстояния является (однозначной) функцией от старой (евклидовой) функции расстояния, то полученная дискретная геометрия остается однородной и изотропной (как евклидова геометрия). 
. В чём же тут принципиальное отличие от прямоугольной решётки?
со свободной переменной 
конкретного значения (константы) 
требует специального правила вывода 
а без этого правила невозможно было бы использовать формулы типа 
с переменными 
, 
, 
, пришлось бы для каждого конкретного набора 
