Несколько теор. вопросов про отображения, послед и пределы

[samuil]

1) Отображение и функция -- одно и тоже?
В Википедии написано, что да, но я слышал, что функция -- частный случай отображения.
Если так -- то зачем эта двусмысленность?

http://ru.wikipedia.org/wiki/Отображение_(значения)

2) Что подразумевается под арифметическими свойствами сходящихся последовательностей ? Какие именно свойства?

3) Второй замечательный предел. Есть ли доказательство того, что он равен $e$ не через бином, а попроще?)

[Хорхе]

samuil в сообщении #499536 писал(а):

1)
В Википедии написано, что да, но я слышал, что функция -- частный случай отображения.
Если так -- то зачем эта двусмысленность?

А я слышал, что люди в Австралии вверх ногами ходят. Если так - то зачем, ведь это так неудобно?

-- Сб ноя 05, 2011 00:20:04 --

2) если две последовательности сходятся, то сходятся их сумма, произведение и иногда частное.

-- Сб ноя 05, 2011 00:21:47 --

3) а как через бином?

[ewert]

samuil в сообщении #499536 писал(а):

Если так -- то зачем эта двусмысленность?

Это не двусмысленность, а конкретизация терминологии. Наиболее нейтральный из этой серии термин -- "отображение". Его принято называть "функцией", если речь идёт об отображении между числами или конечными наборами чисел. Если же между некими более-менее абстрактными пространствами, то -- "оператором". А если на выходе этого оператора должны получаться просто числа, то -- "функционалом". И т.д.. И всё это -- отображения.

samuil в сообщении #499536 писал(а):

Второй замечательный предел. Есть ли доказательство того, что он равен $e$ не через бином, а попроще?

Есть очень разные доказательства (смотря что понимать под исходным определением числа $e$), и все они примерно одинаково трудоёмки. Чудес не бывает.

-- Сб ноя 05, 2011 00:27:11 --

Хорхе в сообщении #499537 писал(а):

3) а как через бином?

Я вот только что в другой ветке обругал в очередной раз В.Босса, а тут как раз на него сошлюсь -- в последний раз мне попадалось подобное доказательство, кажется, у него.

[ИСН]

А это разве не его ($e$) определение?

[samuil]

Спасибо!

ewert в сообщении #499540 писал(а):

Есть очень разные доказательства (смотря что понимать под исходным определением числа $e$), и все они примерно одинаково трудоёмки. Чудес не бывает.

Ок, я не боюсь трудоемкостей, просто хочется другим способом) Подскажите, пожалуйста, с чего начать?)

(Оффтоп)

Тут через бином

http://ru.wikipedia.org/wiki/Замечательные_пределы

Можно так?! По-моему -- не очень трудоемко!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

$$\lim\limits_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x=\lim\limits_{x \to \infty}e^{\ln(1 + \frac{1}{x})^x}=$$

$$=\lim\limits_{x \to \infty}\exp\big({x\ln(1 + \frac{1}{x})}\big)}=\lim\limits_{x \to \infty}\exp{\big( {\dfrac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{1/x}}\big)}=[\text{ЛОПИТАЛЬ}]=...=e^1=e$$

[/math]

[ewert]

samuil в сообщении #499593 писал(а):

Можно так?!

Так -- нельзя. Вы просто свели одну форму записи предела к другой.

ИСН в сообщении #499580 писал(а):

А это разве не его ($e$) определение?

Через бином -- нет, не определение. Есть два естественных определения.

1. Как предел единицы плюс одной энной в энной степени (оно, правда, совершенно не естественно, но зато стандартно, и исторически возникло, вероятно, именно так -- из анализа поведения сложных процентов). Техническая трудность -- в доказательстве существования предела. Это можно делать через бином, а можно просто доказывая монотонность и ограниченность по индукции. Первое технически проще, но нужно знать бином. Во втором случае не нужно знать ничего, зато повозиться придётся дольше. В обоих случаях дополнительно понадобится некоторая возня с переходом от целочисленного предела к "континуальному".

2. Как такое основание показательной функции, при котором её производная выглядит проще всего. Это -- наиболее идейное определение, и к тому же корректность не вызывает никаких сомнений. Не считая одного нюанса: надо знать, что показательная функция вообще дифференцируема; вот с этим придётся немного повозиться.

[samuil]

А почему правило Лопиталя совсем не годится?

$$\lim\limits_{x \to \infty}\exp{\Biggr( {\dfrac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{1/x}}\Biggr)}=\big[t=1/x\big]=\lim\limits_{t \to 0}\exp{\Biggr( {\dfrac{\ln(1 + t)}{t}}\Biggr)}=\lim\limits_{t \to 0}\exp{\Biggr( {\dfrac{\Big(\ln(1 + t)\Big)'}{\Big(t\Big)'}}\Biggr)}=$$

$$=\lim\limits_{t \to 0}\exp{\Biggr( {\dfrac{\big[\dfrac{1}{1+t}\big]}{1}}\Biggr)}=e^1=e$$

ewert в сообщении #499622 писал(а):

2. Как такое основание показательной функции, при котором её производная выглядит проще всего. Это -- наиболее идейное определение, и к тому же корректность не вызывает никаких сомнений. Не считая одного нюанса: надо знать, что показательная функция вообще дифференцируема; вот с этим придётся немного повозиться.

Попробую доказать то, что показательная функция -- дифференцируема.

Пусть в некоторой окрестности точки $x_0 \in R$ определена функция $f\colon U(x_0) \subset R \to R$

Производной функции $f(x)=e^x$ в точке $x_0$ называется предел:

$$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x_0+\Delta x}-e^{x_0}}{\Delta x}=$$

$$=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x_0}\big(e^{\Delta x}-1\big)}{\Delta x}=\big[\text{при}\;\Delta x \to 0\quad e^{\Delta x}=1+\Delta x +o(\Delta x)\big]=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x_0}\big(\Delta x+o(\Delta x)\big)}{\Delta x}=$$

$$=e^{x_0}\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Big(\Delta x+o(\Delta x)\Big)}{\Delta x}=e^{x_0}\lim_{\Delta x \to 0} \Big(\frac{\Delta x}{\Delta x}+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\Big)}=e^{x_0}\lim_{\Delta x \to 0} \Big(1+o(1)\Big)}=e^{x_0}$$

Подозреваю, что формула Маклорена не годится...(ибо ее использование подразумевает существование производной) но как иначе?

[BVR]

Если область определения функции, действующей из множества $X$ в множество $Y$, совпадает с множеством $X$, то эта функция называется отображением множества $X$ в множество $Y$.

-- Сб ноя 05, 2011 13:39:27 --

То есть, отображение - частный случай функции.

[Хорхе]

ewert в сообщении #499622 писал(а):

Не считая одного нюанса: надо знать, что показательная функция вообще дифференцируема; вот с этим придётся немного повозиться.

Есть способ в духе "сбиваем лазером сосули": показательная функция как монотонная дифференцируема почти всюду. Ну а нам достаточно в одной точке, на самом деле. Чуть-чуть подумав, берем вместо лазера рогатку -- выпуклая функция дифференцируема всюду, кроме максимум счетного числа точек.

Кстати, мне это определение (через показательную функцию с "самой простой" производной) нравится тем, что из него "второй замечательный предел" получается методом ломаных Эйлера для соответствующего диффура.

[ewert]

samuil в сообщении #499628 писал(а):

Подозреваю, что формула Маклорена не годится...(ибо ее использование подразумевает существование производной)

Именно так.

Из определения производной и свойств показательной функции мгновенно следует, что $(a^x)'=C_a\cdot a^x$, где $C_a\equiv\lim\limits_{x\to0}\dfrac{a^x-1}{x}$. Далее, после соотв. линейной замены переменной в этом пределе $(a^x)'=C_2\cdot a^x\cdot\log_2a$. А поскольку логарифм непрерывно и монотонно меняется от плюс до минус бесконечности, существует значение $a$ (притом ровно одно), при котором $(a^x)'=a^x$. Вот это-то значение и называется числом $e$.

Для того, чтобы сделать все эти элементарные выкладки корректными, нужно лишь одно -- убедиться в том, что предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2^x-1}{x}$ существует и конечен. Это следует из монотонности, и не так уж сложно, но и не сразу; повозиться придётся.

-- Сб ноя 05, 2011 14:28:38 --

Хорхе в сообщении #499689 писал(а):

Есть способ в духе "сбиваем лазером сосули": показательная функция как монотонная дифференцируема почти всюду. Ну а нам достаточно в одной точке, на самом деле. Чуть-чуть подумав, берем вместо лазера рогатку -- выпуклая функция дифференцируема всюду, кроме максимум счетного числа точек.

Ну это действительно сосули лазером, притом на верёвочке. Я всё-таки имел в виду совсем элементарное доказательство, средствами исключительно первого семестра.

-- Сб ноя 05, 2011 14:33:53 --

Хорхе в сообщении #499689 писал(а):

выпуклая функция дифференцируема всюду, кроме максимум счетного числа точек

Это некоторый перебор: из выпуклости показательной функции уже следует существование правостороннего предела, а его совпадение с левосторонним получается просто заменой $x$ на $(-x)$.

[coll3ctor]

samuil писал(а):

$$=\lim\limits_{x \to \infty}\exp\big({x\ln(1 + \frac{1}{x})}\big)}=\lim\limits_{x \to \infty}\exp{\big( {\dfrac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{1/x}}\big)}=[\text{ЛОПИТАЛЬ}]=...=e^1=e$$

поднимите икс вверх и по лопиталю уже нельзя или вы думаете что милионы математиков так и не догадались об этом за множество столетий ?

[zhoraster]

coll3ctor, устное замечание за избыточное цитирование.

[samuil]

По-моему эти 2 высказывания -- противоположные точки зрения.

ewert в сообщении #499540 писал(а):

термин -- "отображение". Его принято называть "функцией", если речь идёт об отображении между числами или конечными наборами чисел. Если же между некими более-менее абстрактными пространствами, то -- "оператором". А если на выходе этого оператора должны получаться просто числа, то -- "функционалом". И т.д.. И всё это -- отображения.

ewert говорит о том, что функция -- частный случай отображения.

BVR в сообщении #499647 писал(а):

Если область определения функции, действующей из множества $X$ в множество $Y$, совпадает с множеством $X$, то эта функция называется отображением множества $X$ в множество $Y$.

BVR говорит, что отображение - частный случай функции.
Кто прав?! Или я что-то неправильно понимаю?!

[ewert]

samuil в сообщении #499796 писал(а):

Кто прав?! Или я что-то неправильно понимаю?!

дед К.Пруткова писал(а):

Некоторая очень красивая девушка, в королевском присутствии, у кавалера де Монбасона хладнокровно спрашивала: "Государь мой, что к чему привешано: хвост к собаке или собака к хвосту?" - То сей проворный в отповедях кавалер, нисколько не смятенным, а напротив того, постоянным голосом ответствовал: "Как, сударыня, приключится; ибо всякую собаку никому за- хвост, как и за шею, приподнять невозбранно".

[samuil]

дед К.Пруткова писал(а):

Некоторая очень красивая девушка, в королевском присутствии, у кавалера де Монбасона хладнокровно спрашивала: "Государь мой, что к чему привешано: хвост к собаке или собака к хвосту?" - То сей проворный в отповедях кавалер, нисколько не смятенным, а напротив того, постоянным голосом ответствовал: "Как, сударыня, приключится; ибо всякую собаку никому за- хвост, как и за шею, приподнять невозбранно".

Насколько я понял -- мой вопрос был неуместен и некорректен? Но все же -- ответ на вопрос не очевиден(

-- 05.11.2011, 22:54 --

ewert в сообщении #499692 писал(а):

Для того, чтобы сделать все эти элементарные выкладки корректными, нужно лишь одно -- убедиться в том, что предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2^x-1}{x}$ существует и конечен. Это следует из монотонности, и не так уж сложно, но и не сразу; повозиться придётся.

А чем пользоваться можно, чтобы убедиться (догадываюсь, что использовать производную для выяснения монотонности -- тут не уместно использовать производную)