Доказать что последовательность расходится

[ewert]

Dosaev в сообщении #499509 писал(а):

Теперь осталось доказать что она расходится и задача решена?

Если Вы не Босс -- то достаточно (хотя проще б если ещё проредить). А если Босс -- то ни в жисть не решите.

[Mega Sirius12]

вообще эта последовательность никуда не стремится

[AKM]

Dosaev в сообщении #499509 писал(а):

можно записать общей формулой $x_n = (-1)^{n + 1}(4n-2)^2.$

Замысел вроде правильный, но формула не особо... Для $n=0$ я получил $x_0=0$, а у Вас вроде -4 получается. Ну и так далее. Кто-то из нас неправ.

[Dosaev]

Последовательность всегда начинается с номера n = 1, разве нет? У меня начиная с n = 1 все вроде подходит. То есть элементы с номерами 4n-2 удовлетворяют равенству $(-1)^{n+1}(4n-2)^2.$ Так как последовательность 4n-2 строго возрастающая то мы получили подпоследовательность последовательности $n^2\sin {\frac{\pi n}{4}.$
Только вот я не понял, разве можно так на примере выписывания делать такие выводы.

[AKM]

Это мелочи, с нуля или единицы, вопрос удобства. Но у меня при $n=2$ получалось $n^2\sin\frac{n\pi}{4}=4$, а у Вас что-то вроде $(-1)^{n+1}(4n-2)^2=-36$.

-- 05 ноя 2011, 00:32 --

Вот у Вас там фигурировал $\sin\frac{n\pi}{4}$. И вот $n$ увеличивается, и что-то там прокручивается на 45 градусов при каждом новом $n$, и однажды, при $n=2$ (т.е. при угле 90), синус стал равным единичке, и потом $n$ ещё 8 раз прокрутилось, и угол стал тем же (по сути тем же: 90 и 90+360 - это одно и то же, по крайней мере, с точки зрения синуса), просто типа 90+полный круг, 90+два_полных_круга, а синус в каждой этой ситуации остаётся единичкой, а $n$ растёт, а $n^2$ ващенезнамокак растёт, а синус всё единичка и единичка, и мы этот $n^2$ каждый раз на ту единичку умножаем, и ... и как оно может сходиться?

-- 05 ноя 2011, 00:38 --

Dosaev в сообщении #499533 писал(а):

Только вот я не понял, разве можно так на примере выписывания делать такие выводы.

А выводы Вы должны делать на основе конкретного знания: $\sin\left(\frac{\pi}2+k\pi\right)=(-1)^k$. Ну, не знаю, как это конкретно в нынешней школе записывается (варианты возможны, но они равносильны). Но главное не запоминать то, что я тут написал, а понимать всю простоту этого равенства... Нечто крутится... и то плюс единичка, то минус единичка, и потом снова плюс, и ... , и так до скончания... не скажу чего...

[Dosaev]

Спасибо большое, я вроде понял. Но последний вопрос: если мы докажем что эта подпоследовательность расходится, то и вся искомая последовательность будет расходится? Интуитивно то ясно что да, но опираясь на что мы делаем такой вывод? И нам ненужно будет рассматривать другие подпоследовательности и доказывать их сходимость/расходимость? То есть я имею в виду достаточно одной?

[olenellus]

Повторите (прямо здесь, на форуме) определение "предела последовательности" (или "сходящейся последовательности"). Далее, постройте отрицание этого высказывания.

[Someone]

Dosaev в сообщении #499548 писал(а):

опираясь на что мы делаем такой вывод?

Попробуйте доказать, что если некоторая последовательность сходится, то и любая её подпоследовательность сходится. Это легко доказывается, если знаете определение предела и подпоследовательности. Отсюда и следует то, что Вам требуется.

[AKM]

Dosaev в сообщении #499548 писал(а):

Но последний вопрос: если мы докажем что эта подпоследовательность расходится, то и вся искомая последовательность будет расходится?

Ой, поскольку мне экзамены не сдавать, и я не преподаю, и ночь поздняя, то я позабыл формальные определения. Я просто вспоминаю, что если рота солдат идёт на выборы, а тут кто-то в кабак отклоняется, другой к маме бежит, третий прокурору жаловаться, то последовательность не сходится к избирательному участку. Пример так себе, конечно, ибо рота солдат не бесконечна, но мне по жизни его хватает.

Надеюсь, кто-нибудь Вам это объяснит более формально. В конце концов — перечитатйте формальное определение сходимости: начиная с какого-то $N$ они все должны скукожиться! А тут у нас они только разбегаются в разные стороны, — 4, 100, 324, и всё хуже и хуже! Ну какая это к чёрту "сходимость"?

Надеюсь, кто-нибудь Вам это объяснит более формально.

-- 05 ноя 2011, 00:59 --

Ой, как хорошо, уже двое...