ТФКП, как связана "связность" множества и голоморфность

[Alexeybk5]

есть задание

пусть А является открытым и связным множеством
и
$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$

является голоморфной(аналитической) функцией на множестве А.
Показать, что если функция
$g(z)=f(x-iy)=u(x,y)-iv(x,y)$
является тоже голоморфной на этом множестве, то это значит, что f(z) является постоянной на множестве А


Это доказал я через то, что
для того, чтобы для функции

$g(z)=f(x-iy)=u(x,y)-iv(x,y)$

выполнялись условия коши
надо чтобы было $u(x,y)=v(x,y)=0$
и следовательно
$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)=0$ т.е. она постоянная


а теперь вопрос:


если множество А не является сязным, верно ли это утверждение и почему

Вот это я честно не понимаю, подскажите пожалуйста как это связано между собой

[Padawan]

Не буду касаться ошибок в условии задачи и в Ваших рассуждениях. Попробуйте ответить на такой вопрос. Где используется связность множества $A$ в следующем утверждении: Если множество $A$ открыто и связно, и $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}\equiv 0$, то $u(x,y)=\mathrm{const}$ на $A$.

[Alexeybk5]

дело в том, что я не очень понимаю, зачем именно тут мы используем связность множества (само определения я понимаю)

но для чего мы используем эту связность?

п.с. Если Вам не трудно, могли бы пожалуйста указать ошибки в моей обосновании и в самом условии
(просто хочется разобраться в нюансах)
Спасибо

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #499344 писал(а):

зачем именно тут мы используем связность множества

Низачем и вовсе никак не используем, тут связность попросту не при чём.

-- Пт ноя 04, 2011 18:36:50 --

Упс, пардон, используем, но используем нелепо-тривиально: на разных компонентах связности константы могли бы получаться разными.

[Alexeybk5]

Прошу прощение за занудство, но Вы не могли бы немножко поподробней?



т.е. это и будет ответом на вопрос задачи?
Спасибо

[Padawan]

Alexeybk5 в сообщении #499330 писал(а):

$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ ...

$g(z)=f(x-iy)=u(x,y)-iv(x,y)$

Вообще говоря, для аналитической функции $f(\overline z)\neq \overline {f(z)}$. Только если тейлоровские коэффициенты действительные.

[Alexeybk5]

ааа, т.е. в задании допустили ошибку. Ну может быть они это и имели ввиду?

-- 04.11.2011, 20:25 --

а в моих рассуждения где ошибка подскажите пожалуйста

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #499330 писал(а):

для того, чтобы для функции

$g(z)=f(x-iy)=u(x,y)-iv(x,y)$

выполнялись условия коши
надо чтобы было $u(x,y)=v(x,y)=0$

Это с бодуна написано. Из условий Коши-Римана может следовать (и следует) лишь, что некие производные равны нулю. Вот честно это выведите -- и сделайте соотв. выводы.