Несложная задача по геометрии

[BENEDIKT]

Вновь хотел бы обратиться за помощью в решении задачи.
В равнобедр-м треуг-ке ABC с основанием AC проведена медиана BD. Найти её длину, если периметр $ABC = 50 $ м, периметр $ABD = 40 $ м.
Попытка решения задачи.
Зная, что ABC - равнобедренный треуг-к, а значит, медиана является биссектрисой и высотой, можно легко доказать равенство ABD и DBC посредством первого или второго признаков равенства треугольников. Но пока не понимаю, следует ли это делать и как это равенство можно использовать? Ведь равенство их сторон и так известно, т. к. AB и BC - ещё и боковые стороны треугольника ABC, а AD=DC, т. к. D - основание перпендик-ра BD, а значит - срединная точка AC. BD - вообще общая сторона для ABD и DBC.
Понятно, что можно просто подставить значения, ибо ответ известен: 15 м. Но необходимо ведь геометрическое решение.

[venco]

BENEDIKT в сообщении #499328 писал(а):

Но необходимо ведь геометрическое решение.

Это как? Провести построения, чтобы на чертеже получились цифры 15?

По моему, способ, каким вы получили 15м и есть решение, если, конечно не подсмотрели ответ.

[gris]

Если равны треугольники, то равны и их периметры. Равенство доказывать надо. Но лучше по третьему признаку. А потом сложите периметры двух маленьких треугольников. Сложите сами числа и длины всех отрезков. Потом выделите скобками отрезки, которые составляют большой треугольник. Чему равна сумма в скобках? Что осталось за скобками? Вот так вот оно и получается.

А ведь из условия не токмо медиану, но и сами стороны найти можно. Один он, такой треугольничек-то.

[spaits]

gris в сообщении #499333 писал(а):

А потом сложите периметры двух маленьких треугольников.

Так проще: $AB+AD=\frac{50}2=25$; это половина периметра данного треугольника (большого). Равенство маленьких треугольников было доказано. Далее: $BD=40-25=15$, только можно записать с обозначением отрезков. Так было у топикстартера, всё верно.
Можно брать сумму периметров двух маленьких треугольников, как у gris, оба решения равноценны. Разницы никакой.

gris в сообщении #499333 писал(а):

А ведь из условия не токмо медиану, но и сами стороны найти можно. Один он, такой треугольничек-то.

Да, можно, только эта задача для младших классов, наверное, когда еще теорему Пифагора не проходили. Обозначим боковую сторону как $x$, половину основания как $y$, получим систему уравнений: $x+y=25; x^2-y^2=15^2$. Эта система равносильна системе: $x+y=25; x-y=9$; ее решение: $x=17; y=8$. Основание треугольника $2y=16$. Боковая сторона 17, основание 16.

[BENEDIKT]

Спасибо всем за помощь!