Бесконечность множества простых чисел через особую топологию

[xmaister]

Пусть на $\mathbb{N}$ задана топология, порождённая базой, элементы которой являются всевозможные арифметические прогрессии. Помогите вывести отсюда, что множество простых чисел- бесконечно.
Толковых идей что-то вообще нет. Думал предположить, что множество простых- конечно, тогда наверное должно получится противоречие. Но с чем- непонятно.

Благодарю.

[Someone]

"Отсюда" - это откуда? Никакого утверждения об этой топологии сделано не было.

[xmaister]

Я исказил условие задачи, когда набирал. Каюсь.

Там сказано так: С помощью этой топологии доказать, что множество простых чисел бесконечно.

[Хорхе]

Все арифметические прогрессии не только открыты, но и замкнуты. Тогда, если простых конечное число, то множество $\mathbb N\setminus \{1\}$ замкнуто, отсюда $\{1\}$ открыто, чего, ясен пень быть не может. Не слышал о таком способе, весьма изящно!

[xmaister]

Кажется начинаю понимать. Будем рассматривать арифметические прогрессии вида $U_s=\{np_s\}$. Т.к. любое число $n\in\mathbb{N}$ разлагается в произведение простых, то $\bigcup\limits_{s\in S}U_s=\mathbb{N}\setminus\{1\}$. Если простых- конечно, то $S$- конечно $\Rightarrow$ $\mathbb{N}\setminus\{1\}$- замкнуто.
Спасибо, Хорхе!

[RIP]

(Оффтоп)

Ага, изящное док-во. Фюрстенберг, как-никак.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #465965 писал(а):

Рекомендую посмотреть статью А. Эвнина "Девятнадцать доказательств теоремы Евклида" в журнале "Квант" (2001, № 1).

Фюрстенберг на русском

[Хорхе]

Да, вот только у Фюрстенберга, как и у меня, написано, is clearly not an open set. Почему это понятно? Потому что открытое непустое множество бесконечно. Короче, получается практически вчистую доказательство Евклида, если вдуматься, и топология тут вроде как и не при чем.