Формула суммирования симметричной функции

[Nimza]

Есть функция $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, симметричная по всем своим аргументам. Я считаю значение выражения

$I = \sum\limits_{i_1,\ldots,i_n=1}^{N} f(x_{i_1},\ldots,x_{i_n})$

Есть ли какая-нибудь красивая, короткая формула для этой суммы, содержащая как можно меньше операций? Что-нибудь эдакое наподобие формулы Фаа ди Бруно. Я пробовал организовать внешнее суммирование по числу совпадающих индексов, но всё как-то громоздко получается.

[Sonic86]

Что-то я не понял формулу. К примеру, $n=2$ - получаем $I = \sum\limits_{i_1,i_2=1}^N f(x_{i_1},x_{i_2})$ - при $N>n$ начинают вылазить $x_3,x_4,...$. Наверное все-таки $N=n$. Далее считаю, что $N=n$.
Можно считать, что $f$ - произведение симметрических функций...
Хорошо суммируется последний элементарный симметрический многочлен: $\sum\limits_{i_1,\ldots,i_n=1}^n x_{i_1} \cdot \ldots \cdot x_{i_n}=(x_1+...+x_n)^n$...
Да и первый тоже: $\sum\limits_{i_1,\ldots,i_n=1}^n x_{i_1} + \ldots + x_{i_n}=n^{n-1}(x_1+...+x_n)$...
Да и вообще любой элементарный симметрический многочлен $\sigma _k (x_1, \ldots, x_n)$ легко суммируется: $\sum\limits_{i_1,\ldots,i_n=1}^n \sigma _k (x_1, \ldots, x_n) = n^{n-k}(x_1+...+x_n)^k$...
Исходя из этого может быть как-то удастся просуммировать по частям сумму, представив ее через элементарные симметрические многочлены?...
А может оно так даже в лоб и суммируется? Надо просто представить многочлен в виду суммы одночленов $x_1^{a_1}\cdot \ldots \cdot x_n^{a_n}$ и в лоб просуммировать?...
$\sum\limits_{i_1,\ldots,i_n=1}^n x_1^{a_1}\cdot \ldots \cdot x_n^{a_n} = n^z(x_1^{a_1}+...+x_n^{a_n})^{n-z}$, где $z$ - число показателей $a_j =0$, а в скобках под степенью стоят лишь одночлены со степенью, не равной нулю...
Проверьте... Дальше сами справитесь.

[Nimza]

Спасибо, но проблема как раз в том, что вообще говоря может быть $N > n$. Причём намного больше... зря я чтоли буквы такие выбрал (изначально это вообще был интеграл) Ну а раз вылазят $x_k$ при $k > n$, то это нормально. У меня это будет что-нибудь вида $x_k = k/N$ (ну вообще говоря посложнее).

[Sonic86]

А Вы попробуйте пересчитать все суммы при $N>n$ так же, как и в случае $n=N$. Ведь мы уже когда подсчитываем $\sum\limits_{i_1,\ldots,i_n=1}^n \sigma _k (x_1, \ldots, x_n)$ у нас возникает такой случай - но там же просто все: суммы по индексу, от которого не зависит суммируемое выражение, просто заменяются на $N$ и дальше считаем как и раньше.
Насчет интеграла - хотелось бы посмотреть.