прямая Зоргенфрея и плоскость Немыцкого не гомеоморфны

[xmaister]

Здравствуйте! Нужно доказать, что прямая Зоргенфрея и плоскость Немыцкого не гомеоморфны. Можете подсказать, как начать решать эту задачу? Я думал использовать то, что вес, плотность или характер не будут сохранятся при таком отображении, но не получается. Помогите разобраться.

Благодарю!

[Someone]

Нужно найти какой-нибудь топологический инвариант, которым они отличаются. На кардинальнозначных инвариантах свет клином не сошёлся.

[xmaister]

Someone в сообщении #498031 писал(а):

На кардинальнозначных инвариантах свет клином не сошёлся.

Т.е. вес, плотность, характер не катят? Я правильно Вас понял? Они вроде оба хаусдорфовы. Прямая Зоргенфрея нормальна, насчёт плоскости Немыцкого не уверен пока что, но скорее всего тоже.

(Оффтоп)

В указании к упражнению сказано использовать, что $K$ непрерывно отображается в $\{0,1\}$. Но я не совсем понял, как этим можно воспользоваться.

[Someone]

xmaister в сообщении #498039 писал(а):

$K$ непрерывно отображается в $\{0,1\}$

Уточняю: на $\{0,1\}$.

xmaister в сообщении #498039 писал(а):

Но я не совсем понял, как этим можно воспользоваться.

А плоскость Немыцкого можно непрерывно отобразить на $\{0,1\}$?

xmaister в сообщении #498039 писал(а):

Прямая Зоргенфрея нормальна, насчёт плоскости Немыцкого не уверен пока что, но скорее всего тоже.

Полезно это выяснить.

[Padawan]

xmaister в сообщении #498039 писал(а):

$K$ непрерывно отображается в $\{0,1\}$

А какие пространства можно непрерывно отобразить на $\{0,1\}$?

[xmaister]

Padawan в сообщении #498096 писал(а):

А какие пространства можно непрерывно отобразить на ?

Пусть $f: X\to D$
$f^{-1}(\{0,1\})=f^{-1}(\{0\}\cup \{1\})=f^{-1}(\{0\})\cup f^{-1} (\{1\})=X$
Т.е. на $\{0,1\}$ можно отобразить только несвязные пространства. Так?

[Padawan]

Так. И?

[xmaister]

Padawan
А как доказать связность плоскости Немыцкого?

[Someone]

Попробуйте доказать более сильное свойство - линейную связность. То есть, что для любых двух точек плоскости Немыцкого существует непрерывное отображение отрезка $[0,1]$ в эту плоскость, при котором один конец отрезка отображается в одну из этих точек, а другой - в другую.

[xmaister]

Надеюсь, что с отображениями я нигде не прокололся.
Пусть $a=(x_1,y_1), b=(x_2,y_2)$, такие что $a\not\in L_1$ или $b\not\in L_1$. Тогда $f(x)=\left((x_2-x_1)x+x_1,\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left((x_2-x_1)x+x_1\right)+y_1-x_1\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)$ будет $f: I\to L$.
Если $a=(x_1,0)$ и $b=(x_2,0)$, то $f(x)=\begin{cases}(x_1,x), x\le\frac1{3}\\(3(x_2-x_1)x+2x_1-x_2,\frac1{3}),\frac13\le x\le\frac23\\(x_2,1-x),\frac23\le x\le 1\end{cases}$.
Эти отображения будут непрерывными, т.е. $L$ линейно связна.
Но непонятно, как доказать, что из линейной связности следует связность?

[Joker_vD]

xmaister в сообщении #498656 писал(а):

Но непонятно, как доказать, что из линейной связности следует связность?

Ну, это просто: если любая пара точек пространства лежит в каком-то связном множестве, то пространство связно; плюс факт, что образ пути — связное множество.

[xmaister]

Joker_vD в сообщении #498662 писал(а):

образ пути — связное множество.

Можете пояснить, что такое путь?

[Joker_vD]

Путь из точки $A$ в точку $B$ — это непрерывное отображение $f\colon[0,1]\to X$, причем $f(0)=A$, $f(1)=B$.

[Someone]

xmaister в сообщении #498671 писал(а):

что такое путь?

Отрезок связен $\Rightarrow$ непрерывный образ отрезка связен $\Rightarrow$ в плоскости Немыцкого каждая пара точек содержится в связном множестве $\Rightarrow$ плоскость Немыцкого связна $\Rightarrow$ не может быть непрерывно отображена на дискретное двоеточие.

[xmaister]

Someone в сообщении #498686 писал(а):

в плоскости Немыцкого каждая пара точек содержится в связном множестве $\Rightarrow$ плоскость Немыцкого связна

Предположим, что пространство несвязно, т.е. существуют 2 точки, лежащие в разных компонентах связности. Пусть $A\subset L$- линия, соединяющая эти две точки. Т.к. $I$ можно отобразить на $A$, то $A$ лежит в одной компоненте связности. Противоречие. Будут ли корректны такие рассуждения?

-- 03.11.2011, 22:48 --

Someone в сообщении #498042 писал(а):

xmaister в сообщении #498039 писал(а):

Прямая Зоргенфрея нормальна, насчёт плоскости Немыцкого не уверен пока что, но скорее всего тоже.

Полезно это выяснить.

Нормальность доказать не получилось. Пытаюсь доказать не нормальность- ищу пример. Рассматриваю в качестве одного замкнутого рассмотреть $x\in L_1$. Проблема в том, что не могу найти замкнутое $V$, такое что $V\cap \{x\}=\varnothing$ и существовали не пересекающиеся открытые, которые содеражат $\{x\}$ и $V$.