29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.

[bot]

Новосибирск, 30 октября 2011

ДЛЯ ВУЗОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.

1. Пусть $A$ - невырожденная матрица порядка $n>1$ с положительными элементами. Докажите, что количество нулевых элементов матрицы $A^{-1}$ не превосходит $n^2-2n$.

2. Квадрат $n\times n$ разбит на квадраты $1\times 1$. В некоторых из маленьких квадратов провели диагонали так, что никакие две не имеют общей точки. Определить максимально возможное число проведённых диагоналей.

3. Непрерывная функция $f: [0; 1]\rightarrow \mathbb R$ удовлетворяет неравенствам $xf(y)+yf(x)\leqslant 1$ для любых $x,y\in [0; 1]$.
Доказать, что $\int\limits_0^1f(x)\, dx \leqslant\frac{\pi}{4}.$

4. Пусть $x_n$ - наибольший корень уравнения $x^n=x^2+x+1$ при $n>1$.
Вычислить $\lim\limits_{n\to\infty}n(x_n-1).$

5. Для каждого натурального $n$ указать многочлен вида $\displaystyle x^n-x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots + a_{n-2}x^2-n^2ax+a,$ все корни которого действительны и положительны. Найти все такие многочлены.

ДЛЯ ВУЗОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.

1'. Найти все многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие неравенству $P'(x)P''(x) \geqslant P(x)P'''(x)$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

2'. На окружности по разные стороны диаметра AC выбрали две точки B и D. Длины сторон четырёхугольника ABCD оказались целочисленными.
Мог ли в таком случае периметр четырёхугольника оказаться простым числом?

3'. Пусть $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \ldots +\frac{1}{2009}+\frac{1}{2010}=\frac{m}{n}, \ m, n \in \mathbb N$. Доказать, что m делится на $2011.$

4'. Существует ли функция $f:\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$, удовлетворяющая тождеству $f(f(x))=1-x^3$?

5'. Вычислить интеграл $\int\limits_{-1}^{1}\frac{x^2\, dx}{1+e^x}$

Внутренний НГУшный тур см. здесь

[ewert]

bot в сообщении #497371 писал(а):

4. Пусть $x_n$ - наибольший корень уравнения $x^n=x^2+x+1$ при $n>1$.
Вычислить $\lim\limits_{n\to\infty}n(x_n-1).$

$x=t+1;\ \ \ (t+1)^n=t^2+3t+3;\ \ \ (t+1)^n>1+nt\ \Rightarrow nt=O(1);$

$n\ln(t+1)=\ln3+O(t);\ \ \ nt=\ln3+O(t)+\frac1nO(n^2t^2);\ \ \ nt\to\ln3;$

$n(x_n-1)\to\ln3.$

[mihiv]

После замен $x=\cos t,x=\sin t$ получим

$$I=\dfrac 12\int \limits_0^{\dfrac {\pi }2}(\sin tf(\cos t)+\cos tf(\sin t))dt\leq \dfrac {\pi }4$$

[xmaister]

bot в сообщении #497371 писал(а):

5'. Вычислить интеграл $\int\limits_{-1}^{1}\frac{x^2\, dx}{1+e^x}$

Разбиваем на два интеграла и получаем $\int\limits_{-1}^{1}\frac{x^2\, dx}{1+e^x}=\int\limits_0^1x^2dx=\frac13$

[ewert]

bot в сообщении #497371 писал(а):

1'. Найти все многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие неравенству $P'(x)P''(x) \geqslant P(x)P'''(x)$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

$\left(\dfrac{P}{P''}\right)'\geqslant0$ для всех допустимых $x$. Очевидно, это невозможно одновременно и на плюс, и на минус бесконечности, поскольку целая часть дроби квадратична. Кроме, разумеется, случая, когда такое преобразование вообще незаконно, т.е. когда $P''(x)\equiv0$, т.е. когда мы имеем дело с произвольными многочленами первой степени, а для них проверяемое неравенство тривиально.

[Sonic86]

bot в сообщении #497371 писал(а):

3'. Пусть $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \ldots +\frac{1}{2009}+\frac{1}{2010}=\frac{m}{n}, \ m, n \in \mathbb N$. Доказать, что m делится на $2011.$

$2011$ простое, $x \to x^{-1}$ - автоморфизм $\mathbb{Z}_p$ (на самом деле достаточно биективности отображения), значит $m \equiv 1^{-1}+...+(p-1)^{-1} \equiv 1+2+...+(p-1) = \frac{p(p-1)}{2} \equiv 0 \pmod {p}$

[nnosipov]

5. Формулы Виета и неравенство между средними дают единственный многочлен $(x-1/n)^n$.

-- Вс окт 30, 2011 21:01:37 --

1'. При $n=\deg{P(x)}>1$ многочлен $P'(x)P''(x)-P(x)P'''(x)$ имеет нечётную степень.

-- Вс окт 30, 2011 21:07:26 --

2'. Если $a$, $b$, $c$, $d$ --- натуральные числа и $a^2+b^2=c^2+d^2$, то число $p=a+b+c+d$ не может быть простым: иначе $0=a^2+b^2-c^2-d^2 \equiv -2(b+c)(a+c) \pmod{p}$, что невозможно.

-- Вс окт 30, 2011 21:12:57 --

Sonic86 в сообщении #497447 писал(а):

$2011$ простое, $x \to x^{-1}$ - автоморфизм $\mathbb{Z}_p$, значит $m \equiv 1^{-1}+...+(p-1)^{-1} \equiv 1+2+...+(p-1) = \frac{p(p-1)}{2} \equiv 0 \pmod {p}$

Не надо страшных автоморфизмов (студентам таких вузов не положено их знать), просто сложим дроби, симметричные относительно середины суммы.

-- Вс окт 30, 2011 21:18:37 --

4'. Из условия следует тождество $1-f(x)^3=f(1-x^3)$. Подставляя $x=0$ и $x=1$, получим систему уравнений, из которой найдём: либо $f(0)=0$ и $f(1)=1$, либо $f(0)=1$ и $f(1)=0$. Но ни то, ни другое невозможно.

[ewert]

bot в сообщении #497371 писал(а):

1. Пусть $A$ - невырожденная матрица порядка $n>1$ с положительными элементами. Докажите, что количество нулевых элементов матрицы $A^{-1}$ не превосходит $n^2-2n$.

(только почему именно положительными-то -- "страха ради иудейска"?...)

Просто потому, что в каждой строке обратной матрицы -- не менее двух ненулевых элементов. В противном случае хотя бы одно алгебраическое дополнение для обратной матрицы оказалось бы равным нулю.

[ewert]

Ну и по поводу 2 (она, кажется, последняя осталась). Очевидно, что в любых двух соседних столбцах сумма количеств дырочек меньше $n$. Соотв., и оптимальная конфигурация (одна из оптимальных): заполняем первый столбец чёрточками одинаковой ориентации; ставим во втором столбце снизу чёрточку той же ориентации; третий столбец снова сплошь заполняем аналогичными чёрточками; и т.д.

(насчёт д-ва "очевидности" мне вдумываться лень)

[Sonic86]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #497454 писал(а):

Не надо страшных автоморфизмов (студентам таких вузов не положено их знать), просто сложим дроби, симметричные относительно середины суммы.

зато из пушки по воробьям!
... а вообще $p^2|m$, что доказывается все-таки с помощью автоморфизмов...

[ewert]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #497526 писал(а):

что доказывается все-таки с помощью автоморфизмов...

дык понимаете, для любых нормальных кадров автоморфизмы -- суть ноль... Им тупо и нормально вот возьми -- и докажи.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Можно обойтись без них, хотя с ними, конечно, проще.

[Sonic86]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #497533 писал(а):

дык понимаете, для любых нормальных кадров автоморфизмы -- суть ноль... Им тупо и нормально вот возьми -- и докажи.

ну извините Я думал, что надо задачу хоть как-то решить, я не преподаватель, извините...

[nnosipov]

(Оффтоп)

Sonic86, здесь весь смак в том, чтобы обойтись без всех этих алгебраических штучек, хотя бы формально. Полюбопытствуйте как-нибудь на досуге, как решается задача 60 в книге Шклярский, Ченцов, Яглом, Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. б-е изд. (важно! в других изданиях этой задачи может не быть) М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
По-моему, что-то полезное в таком подходе есть (во всяком случае, для обучения школьников).

[Sonic86]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #497639 писал(а):

Sonic86, здесь весь смак в том, чтобы обойтись без всех этих алгебраических штучек, хотя бы формально. Полюбопытствуйте как-нибудь на досуге, как решается задача 60 в книге Шклярский, Ченцов, Яглом, Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. б-е изд. (важно! в других изданиях этой задачи может не быть) М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
По-моему, что-то полезное в таком подходе есть (во всяком случае, для обучения школьников).

Посмотрел. Ну я так же и доказывал бы, только несколько короче и чуть побольше. Но я не преподаватель, насчет школьников может им такой подход и полезнее...
И кстати, опять я переборщил - для отображения не нужно, чтобы оно было автоморфизмом, достаточно лишь биективности (пост исправлю).