2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: 29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.
Сообщение31.10.2011, 09:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
ewert в сообщении #497505 писал(а):
Ну и по поводу 2

Мой прокол. Несложно построить $\frac{n(n+1)}{2}$ диагоналей и в чётном случае доказать, что это максимум. Для нечётного случая это будет только оценкой снизу - начиная c $n=5$ строится на одну больше и вряд ли это будет максимумом при всяком нечётном $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.
Сообщение31.10.2011, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск

(2nnosipov)

bot в сообщении #497371 писал(а):
4'. Существует ли функция , удовлетворяющая тождеству ?

Моё решение отличается от Вашего или это одно и то же?
$g=f\circ f$- инъективно $\Rightarrow f$- инъективно$\Rightarrow$
$f$- монотонна $\Rightarrow$ ($f$- возрастающая) $\wedge$ ($f$- убывающая). Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: 29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.
Сообщение31.10.2011, 13:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #497691 писал(а):
$f$- инъективно $\Rightarrow$ $f$- монотонна

Из инъективности не следует монотонность. И уж тем более никак не следует, если аргументы целочисленны.

 Профиль  
                  
 
 Re: 29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.
Сообщение31.10.2011, 14:32 
Заслуженный участник


20/12/10
9110

(Оффтоп)

xmaister, необходимо использовать то, что $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.
Сообщение31.10.2011, 15:58 


15/03/11
137
4'
Пусть $f(0)=n$, тогда $f(n)=f(f(0))=1$
Пусть $f(1)=m$, тогда $f(m)=f(f(1))=0$

$1-n^3=f(f(n))=f(1)=m$
$1-m^3=f(f(m))=f(0)=n$

получили систему

$1-n^3=m$
$1-m^3=n$

она не имеет целочисленных решений

 Профиль  
                  
 
 Re: 29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.
Сообщение31.10.2011, 16:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
zhekas в сообщении #497746 писал(а):
получили систему

$1-n^3=m$
$1-m^3=n$

она не имеет целочисленных решений

Имеет:

nnosipov в сообщении #497454 писал(а):
Подставляя $x=0$ и $x=1$, получим систему уравнений, из которой найдём: либо $f(0)=0$ и $f(1)=1$, либо $f(0)=1$ и $f(1)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.
Сообщение31.10.2011, 16:24 
Заслуженный участник


02/08/10
629
mihiv в сообщении #497407 писал(а):
После замен $x=\cos t,x=\sin t$ получим $$I=\dfrac 12\int \limits_0^{\dfrac {\pi }2}(\sin tf(\cos t)+\cos tf(\sin t))dt\leq \dfrac {\pi }4$$

А не могли бы объяснить решение этой задачи поподробнее, пожалуйста. В частности, откуда перед интегралом одна вторая, почему интеграл до пи/2 ,и почему вместо $f(x)\cdot dx$ мы имеем $(\sin tf(\cos t)+\cos tf(\sin t))dt$, А то я чё-то не врубился=)

 Профиль  
                  
 
 Re: 29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.
Сообщение31.10.2011, 17:33 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
To MrDindows
Делаем замену $x=\sin t$,при изменении $x$ от 0 до 1,$t$ изменяется от 0 до$\dfrac {\pi }2$,в результате получим $$I=\int \limits _0^{\dfrac {\pi }2}\cos tf(\sin t)dt$$,если же в сделать замену $x=\cos t$,то аналогично получим $$I=\int \limits _0^{\dfrac {\pi}2}\sin tf(\cos t)dt.$$ Интеграл равен полусумме полученных выражений

 Профиль  
                  
 
 Re: 29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.
Сообщение31.10.2011, 17:44 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Понял, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: 29 областная открытая межвузовская олимпиада по математике.
Сообщение31.10.2011, 23:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск

(Оффтоп)

nnosipov,ewert,спасибо, я понял ошибку :oops: . А из того, что $g=h\circ f$- монотонна следует, что $f$ или $h$ монотонна? Или это верно только для отображения $\mathbb{Z}$ в $\mathbb{Z}$? У меня доказать не получилось для произвольных $h$ и $f$...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group