Сейчас читаю вот эти лекции
http://www.mccme.ru/ium/s02/funcan.htmlВ 9 и 10 лекции идет построение теории интеграла по схеме Даниэля.
Вот некоторое описание. Пусть

- компактное хаусдорфово топологическое пространство,

- пространство непрерывных комплекснозначных функций с

-нормой обозначаемой

. Пусть

- непрерывный линейный функционал, такой что

влечет

(свойство монотонности).
Далее по

строится однородная субаддитивная монотонная функция
![$I''\colon [0,+\infty]^X\to[0,+\infty]$ $I''\colon [0,+\infty]^X\to[0,+\infty]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/7/b173d31c0fd661c634e1624bceb4d4ef82.png)
совпадающая с

на множестве неотрицательных непрерывных на

функций. Для

верна теорема о монотонной сходимости. Теперь пусть

. Функция
![$$
||\cdot||_p \colon \mathcal{F}^p(X,I)\to[0,+\infty] : f\mapsto I''(|f|^p)^{1/p}
$$ $$
||\cdot||_p \colon \mathcal{F}^p(X,I)\to[0,+\infty] : f\mapsto I''(|f|^p)^{1/p}
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/8/c98ff8f6125c2e463f626c00b7c20efb82.png)
является преднормой на

При этом

, тогда пространсво Лебега

(не факторизованное) определяем как замыкание

в преднормированном пространстве

.
Нужно доказать что для

выполнено

. Обратная импликация доказывается легко.
В теории Лебега это утверждение очевидно. Но там сразу оговаривается что мы рассматриваем только измеримые функции. Здесь же
произвольная неотрицательная функция на X. Если кто знает, подскажите решение.