Пространтсва L^P построенные по схеме Даниэля

[Норберт]

Сейчас читаю вот эти лекции http://www.mccme.ru/ium/s02/funcan.html
В 9 и 10 лекции идет построение теории интеграла по схеме Даниэля.

Вот некоторое описание. Пусть $X$ - компактное хаусдорфово топологическое пространство, $C(X)$ - пространство непрерывных комплекснозначных функций с $\sup$-нормой обозначаемой $||\cdot||_{\infty}$. Пусть $I$ - непрерывный линейный функционал, такой что $f\geq g,\quad f,g\in C(X)$ влечет $I(f)\geq I(g)$ (свойство монотонности).

Далее по $I$ строится однородная субаддитивная монотонная функция $I''\colon [0,+\infty]^X\to[0,+\infty]$ совпадающая с $I$ на множестве неотрицательных непрерывных на $X$ функций. Для $I''$ верна теорема о монотонной сходимости. Теперь пусть $p\geq 1$. Функция

$$ ||\cdot||_p \colon \mathcal{F}^p(X,I)\to[0,+\infty] : f\mapsto I''(|f|^p)^{1/p} $$

является преднормой на

$$ \mathcal{F}^p(X,I)=\{f\in\mathbb{C}^X\colon I''(|f|^p)^{1/p}<+\infty\} $$

При этом $C(X)\subset \mathcal{F}^p(X,I)$, тогда пространсво Лебега $\mathcal{L}^p(X,I)$ (не факторизованное) определяем как замыкание $C(X)$ в преднормированном пространстве $(\mathcal{F}^p(X,I),||\cdot||_p)$.

Нужно доказать что для $f\in[0,+\infty)^X$ выполнено $f\in\mathcal{L}^p(X,I)\Rightarrow f^p\in\mathcal{L}^1(X,I)$. Обратная импликация доказывается легко.

В теории Лебега это утверждение очевидно. Но там сразу оговаривается что мы рассматриваем только измеримые функции. Здесь же $f$ произвольная неотрицательная функция на X. Если кто знает, подскажите решение.

[Норберт]

Я доказал этот факт, если кому интересно могу написать.

[AD]

Там сильно просто? Тогда я бы еще подумал

[Норберт]

Там с деталями надо возиться. Идея в том что сначала доказываем для ограниченных функций, а потом с помощью теоремы о монотонной сходимости для произвольных функций.