Найти подгруппы заданных порядков в S4

[julek2513]

мне надо сделать погруппы группы подстановок S4 по 2,3,4,6,8,12,24 элемента. Это как вообще? Без этого не допускают к зачету. срочно надо,помогите.не понимаю вообще что надо делать

[VAL]

julek2513 в сообщении #496842 писал(а):

мне надо сделать погруппы группы подстановок S4 по 2,3,4,6,8,12,24 элемента. Это как вообще? Без этого не допускают к зачету. срочно надо,помогите.не понимаю вообще что надо делать

Умеете записывать и перемножать перестановки в виде произведения независимых циклов?

[arseniiv]

julek2513 в сообщении #496842 писал(а):

не понимаю вообще что надо делать

Присмотритесь к таблице умножения $S_4$, к порядкам элементов. Любой элемент $a\colon a^2 = e$ образует вместе с нейтральным $e$ подгруппу порядка 2. И пр..

[VAL]

arseniiv в сообщении #496880 писал(а):

Присмотритесь к таблице умножения $S_4$, к порядкам элементов. Любой элемент $a\colon a^2 = e$ образует вместе с нейтральным $e$ подгруппу порядка 2. И пр..

Ваш совет исходит из того, что имеется таблица Кэли для $S_4$. Чтобы ее построить надо 576 раз выполнить умножение перестановок. Это займет больше времени и сил , чем описание всех подгрупп группы $S_4$ без построения таблицы Кэли. Но записать все элементы группы в цикловой форме (или хотя бы все типичные представители с указанием количества), конечно, надо.

[arseniiv]

VAL в сообщении #496882 писал(а):

Это займет больше времени и сил , чем описание всех подгрупп группы $S_4$ без построения таблицы Кэли.

Ой, я забыл, что там 24 элемента. Да, лучше тогда только их!

[Sonic86]

Насчет $6$ элементов можно вспомнить, что все подгруппы порядка $6$ - это $\mathbb{Z}_6$ и $\mathbb{S}_3$ выбрать из них те, которые могут быть в $\mathbb{S}_4$ и вложить их туда явно, для групп порядка $4$ и $8$ можно, наверное, поступить аналогично. А группа порядка $12$ нормальна в группе порядка $24$ (кстати, почему?), поэтому ее можно задавать через фактор-группу (может оказаться, что в $\mathbb{S}_4$ подгруппа порядка $12$ вообще одна. Какую, кстати, мы знаем подгруппу порядка $12$?).

[Kallikanzarid]

julek2513 в сообщении #496842 писал(а):

мне надо сделать погруппы группы подстановок S4 по 2,3,4,6,8,12,24 элемента. Это как вообще? Без этого не допускают к зачету. срочно надо,помогите.не понимаю вообще что надо делать

2, 3, 4, 24 - очевидно,
6, 8 - полупрямое групп с 3 и 4 на $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
12 - берете пересечение той, в которой 24, с ядром $\mathrm{sgn}$.

Но по хорошему вам лучше уйти в академ или академию искусств.

[Sonic86]

Kallikanzarid в сообщении #497186 писал(а):

6, 8 - полупрямое групп с 3 и 4 на $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
12 - берете пересечение той, в которой 24, с ядром $\mathrm{sgn}$.

О! А можно поподробнее? Как Вы здесь доказываете, что других подгрупп нет?

[Kallikanzarid]

Sonic86 в сообщении #497288 писал(а):

О! А можно поподробнее? Как Вы здесь доказываете, что других подгрупп нет?

А это нужно? Я думал, надо было просто пример привести :)

[Sonic86]

Kallikanzarid в сообщении #497294 писал(а):

А это нужно? Я думал, надо было просто пример привести :)

Ааа..., ну тогда да, но вообще было бы интересно знать как доказывать. Тем более, что нет необходимости в том, чтобы подгруппа индекса 2 была единственна (например, в $\mathbb{Z}_2^n$ таких подгрупп $n$).