В пользовании признаками. Ряд сходится или расходится потому, что такова его природа, а не по признаку. Природу Вы теперь видите. Ну и зачем тогда этот признак, зачем молиться на гаечный ключ?
Да, понятно, что ряд сходится или расходится потому, что такова его природа. А чтобы узнать его природу, пользуются признаками. Я воспользовался сначала признаком Раабе и получил, что ряд расходится. И противоречие с признаком Вейерштрасса. Потом воспользовался признаком сравнения, и всё встало на свои места. Молиться на гаечный ключ, конечно, ни к чему. Я привёл признак Раабе не потому, что мне очень хочется, чтобы ряд сошёлся, а потому, что не мог найти ошибку. :)
Ошибка была всё же в вычислениях:
![$$\lim_{n\to\infty} \frac{(n-1)^{n-1}(n+1)^{n+1}-n^{2n}}{n^{2n-1}}= \lim_{n\to\infty} \frac{((n-1)(n+1))^{n-1}(n+1)^2-n^{2n}}{n^{2n-1}}=$$ $$\lim_{n\to\infty} \frac{(n-1)^{n-1}(n+1)^{n+1}-n^{2n}}{n^{2n-1}}= \lim_{n\to\infty} \frac{((n-1)(n+1))^{n-1}(n+1)^2-n^{2n}}{n^{2n-1}}=$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/f/70f6acbbc6e01c2e0d0e8b3fa700948482.png)
![$$=\lim_{n\to\infty} \frac{(n^2-1)^{n-1}(n+1)^2-n^{2n}}{n^{2n-1}} = $$ $$=\lim_{n\to\infty} \frac{(n^2-1)^{n-1}(n+1)^2-n^{2n}}{n^{2n-1}} = $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/9/2192eb55695495fa35d52e809956e7ce82.png)
![$$= \lim_{n\to\infty} \frac{\left( n^{2(n-1)}-(n-1)n^{2(n-2)}+\frac{1}{2}(n-1)(n-2)n^{2(n-3)}-...+1 \right) (n^2+2n+1) - n^2}{n^{2n-1}} =$$ $$= \lim_{n\to\infty} \frac{\left( n^{2(n-1)}-(n-1)n^{2(n-2)}+\frac{1}{2}(n-1)(n-2)n^{2(n-3)}-...+1 \right) (n^2+2n+1) - n^2}{n^{2n-1}} =$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/6/96679063096898daa3ad60fba1cadf9582.png)
![$$= \lim_{n\to\infty} \frac{(n^{2n}-n^{2n-1}+n^{2n-2}+...)+(2n^{2n-1}-2n^{2n-2}+2^{2n-3}+...)+(n^{2n-2}-n^{2n-3}+n^{2n-4}+...)-n^2}{n^{2n-1}}=$$ $$= \lim_{n\to\infty} \frac{(n^{2n}-n^{2n-1}+n^{2n-2}+...)+(2n^{2n-1}-2n^{2n-2}+2^{2n-3}+...)+(n^{2n-2}-n^{2n-3}+n^{2n-4}+...)-n^2}{n^{2n-1}}=$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/f/11f59ba89c219c6de1cfda3139ed90ec82.png)
![$$= \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2n-1}+\frac{1}{2}n^{2n-2}+...}{n^{2n-1}}=1$$ $$= \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2n-1}+\frac{1}{2}n^{2n-2}+...}{n^{2n-1}}=1$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/d/ddd226ab3191ec6e9dd8970a40b4d85d82.png)
И признак Раабе в предельной форме не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда. Я проверил, непредельная форма признака всё же даёт, что ряд расходится. Разобрался. :)
По существу - попробуйте вытащить ещё одно слагаемое из тьмы многоточий, результат Вас может удивить.
Да, вы правы. Нужно было аккуратнее собрать степени n.