Равномерная сходимость

[vladb314]

Добрый день!

Известно, что если функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, то он сходится равномерно (признак Вейерштрасса). Однако есть пример ряда, который, на мой взгляд, мажорируется сходящимся числовым рядом, но тем не менее сходится неравномерно: функциональный ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}$$

мажорируется сходящимся числовым рядом

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}$$

при любом $x\in(-\infty,+\infty)$, но сходится неравномерно в любом промежутке, содержащем точку $x=0$. Причём все 4 положения:

1) данный ряд сходится при $x\in(-\infty,+\infty)$;
2) данный ряд сходится неравномерно в любом промежутке, содержащем точку $x=0$, например, в интервале $x\in(-1,1)$;
3) данный функциональный ряд мажорируется данным числовым рядом: $ \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n} \leq \frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}$ при $x\in(-\infty,+\infty)$, $n\in\mathbb{N}$, $n\geq2$;
4) данный числовой ряд сходится

я проверил. Могу привести доказательства. В чём ошибка в рассуждениях?

[ewert]

vladb314 в сообщении #497000 писал(а):

4) данный числовой ряд сходится

Да?

[Cash]

Вы перевернете всю теорию чисел, если сумеете доказать 4-й пункт

[ewert]

"Числа" -- это в Библии, а тут просто 2-й замечательный предел.

[vladb314]

ewert в сообщении #497010 писал(а):

"Числа" -- это в Библии, а тут просто 2-й замечательный предел.

Хм... Точно!
По предельному признаку сравнения, сравнивая с гармоническим рядом, получаем:

$$\lim \limits_{n\to\infty} \dfrac{\frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}}{\frac{1}{n}}=\lim \limits_{n\to\infty} \dfrac{(n-1)^{n-1}}{n^{n-1}}=\dfrac{1}{e}$$

И тогда всё ясно!

Я использовал признак Раабе в предельной форме: если $\lim \limits_{n\to\infty} n \left( \dfrac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right) > 1$, то положительный ряд $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится.

Имеем:

$$\lim_{n\to\infty} n \left( \frac{(n-1)^{n-1}}{n^n} : \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} - 1 \right) = \lim_{n\to\infty} n \left( \frac{(n-1)^{n-1} (n+1)^{n+1}}{n^{2n}} - 1 \right) = $$

$$= \lim_{n\to\infty} \frac{(n-1)^{n-1} (n+1)^{n+1}-n^{2n}}{n^{2n-1}} = $$

$$= \lim_{n\to\infty} \frac{(n^{n-1}-(n-1)n^{n-2}+...)(n^{n+1}+(n+1)n^n+...)-n^{2n}}{n^{2n-1}} = $$

$$= \lim_{n\to\infty} \frac{(n^{2n}-(n-1)n^{2n-1}+(n+1)n^{2n-1}+...)-n^{2n}}{n^{2n-1}}=2>1$$

Скажите тогда, в чём здесь ошибка?..

[ИСН]

В пользовании признаками. Ряд сходится или расходится потому, что такова его природа, а не по признаку. Природу Вы теперь видите. Ну и зачем тогда этот признак, зачем молиться на гаечный ключ?

-- Сб, 2011-10-29, 11:47 --

По существу - попробуйте вытащить ещё одно слагаемое из тьмы многоточий, результат Вас может удивить.

[vladb314]

ИСН в сообщении #497038 писал(а):

В пользовании признаками. Ряд сходится или расходится потому, что такова его природа, а не по признаку. Природу Вы теперь видите. Ну и зачем тогда этот признак, зачем молиться на гаечный ключ?

Да, понятно, что ряд сходится или расходится потому, что такова его природа. А чтобы узнать его природу, пользуются признаками. Я воспользовался сначала признаком Раабе и получил, что ряд расходится. И противоречие с признаком Вейерштрасса. Потом воспользовался признаком сравнения, и всё встало на свои места. Молиться на гаечный ключ, конечно, ни к чему. Я привёл признак Раабе не потому, что мне очень хочется, чтобы ряд сошёлся, а потому, что не мог найти ошибку. :)

Ошибка была всё же в вычислениях:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{(n-1)^{n-1}(n+1)^{n+1}-n^{2n}}{n^{2n-1}}= \lim_{n\to\infty} \frac{((n-1)(n+1))^{n-1}(n+1)^2-n^{2n}}{n^{2n-1}}=$$

$$=\lim_{n\to\infty} \frac{(n^2-1)^{n-1}(n+1)^2-n^{2n}}{n^{2n-1}} = $$

$$= \lim_{n\to\infty} \frac{\left( n^{2(n-1)}-(n-1)n^{2(n-2)}+\frac{1}{2}(n-1)(n-2)n^{2(n-3)}-...+1 \right) (n^2+2n+1) - n^2}{n^{2n-1}} =$$

$$= \lim_{n\to\infty} \frac{(n^{2n}-n^{2n-1}+n^{2n-2}+...)+(2n^{2n-1}-2n^{2n-2}+2^{2n-3}+...)+(n^{2n-2}-n^{2n-3}+n^{2n-4}+...)-n^2}{n^{2n-1}}=$$

$$= \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2n-1}+\frac{1}{2}n^{2n-2}+...}{n^{2n-1}}=1$$

И признак Раабе в предельной форме не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда. Я проверил, непредельная форма признака всё же даёт, что ряд расходится. Разобрался. :)

ИСН в сообщении #497038 писал(а):

По существу - попробуйте вытащить ещё одно слагаемое из тьмы многоточий, результат Вас может удивить.

Да, вы правы. Нужно было аккуратнее собрать степени n.