Диф.уравнение 2 порядка.Численное решение.

[eugrita]

Попробовал численное решение(метод конечн разностей) краевой задачи для диф ур $y''+p(x)y=0$ y(0)=y(L)=0$
1)случай $(p(x)=k^2=const $
основной вопрос: существование нетривиальной моды при любых значениях kL, в то время как точное аналитическое решение дает существование нетривиальной моды лишь при $kL=\pi n$ (критическая сила Эйлера)
Это противоречит принципу предельного перехода дискретного аналога краевой задачи в непрерывный при увеличении N
2)при p(x) зависящем от x, в частности кусочно-линейном, положительном хотя точного аналитического решения нет, но предполагаю что краевая задача имеет ненулевое решение также не при всех p(x) (механический аналог - опертый на шарнирные опоры стержень переменного сечения сжатый 1 или рядом продольных сил)
Если это так, как тогда можно доверять формам(модам) полученным в МКР для любой p(x)? Что такое решение будет - сомнения нет - любая симметр веществ матрица имеет вешеств собств числа и собств векторы!

-- Чт окт 20, 2011 09:36:52 --

[/quote]
Метод прогонки - не имеет непосредственного отношения к решению дифференциальных уравнений.[/quote]
вот уж воистину так. Хотя метод прогонки позиционируется как более вычислительно экономный,но в применении к ОДУ у него по моему есть недостатки
1)устойчивость(достаточное условие т.н диагонального преобладания)
$|b_i| > |a_i+|c_i|$
но оно не выполнено для прогоночных матриц ОДУ где $ a_i=c_i=1, b_i=-2+p_i*h^2 $
IMSL-библиотека, Matlab и др пакеты имеет достаточно мощные и устойчивые средства решения СЛАУ больших порядков и без прогонки

[ewert]

eugrita в сообщении #494349 писал(а):

основной вопрос: существование нетривиальной моды при любых значениях kL, в то время как точное аналитическое решение дает существование нетривиальной моды лишь при $kL=\pi n$ (критическая сила Эйлера)
Это противоречит принципу предельного перехода дискретного аналога краевой задачи в непрерывный при увеличении N

Во-первых, полезно не забывать, что точное совпадение спектра исходной дифференциальной задачи со спектром её конечноразностного аналога -- это некоторое чудо, специфичное лишь для этой конкретной задачки; в общем же случае можно надеяться не более чем на приближённое совпадение.

Во-вторых -- конечно, противоречит. Но не столько "принципу предельного перехода" (там ситуация вообще-то говоря не так проста), сколько тупо тому, что линейноалгебраическая (т.е.конечномерная) система в принципе не может иметь недискретного спектра. У Вас просто где-то тривиальная ошибка в вычислениях (или в программе).

eugrita в сообщении #494349 писал(а):

Хотя метод прогонки позиционируется как более вычислительно экономный,но в применении к ОДУ у него по моему есть недостатки
1)устойчивость(достаточное условие т.н диагонального преобладания)
$|b_i| > |a_i+|c_i|$

Это достаточное условие вовсе не устойчивости, а лишь разрешимости (что существенно слабее). И лишь достаточное, но вовсе не необходимое. Не надо нервничать: метод прогонки вполне устойчив, если только мы отделены от спектра; а если не отделены -- то и никакой метод устойчивости не даст.

eugrita в сообщении #494349 писал(а):

IMSL-библиотека, Matlab и др пакеты имеет достаточно мощные и устойчивые средства решения СЛАУ больших порядков и без прогонки

Да, имеют. Только они либо заведомо приближённые (и практически сильно приближённые), либо сильно задумчивые. И, скажем, на весьма скромненькой сетке из сотни узлов будут работать медленнее, чем метод прогонки, тысяч так в десять раз; а на сетке из сотни узлов -- соответственно, в миллион так раз медленнее. Не говоря уж о затратах памяти. Нет, я понимаю, конечно, что "у нас в запасе вечность -- что нам стоит подождать часок-другой"...

[eugrita]

Ув.Ewert.
1)Я всего лишь сказал что дискретный аналог краевой задачи с закреплением на 2 концах всегда имеет ненулевое решение (даже не вдаваясь в возможные ошибки численных решений) -это следует из теорем линейной алгебры.И это,надо признать, не совсем стыкуется
со спектром точного решения
2)ответьте,если можете,на более интересный вопрос - для случая переменных коэф-тов,p(x)
при всех ли ,пусть даже непрерывных p(x) на отрезке [0, L] есть ненулевое решение или аналогично случаю Эйлера при дискретных???
например при $p(x)=P+kx$
k=const,P-var ? и как в этом случае найти те
P=P_i ? (при к=0-случай Эйлера)
Другими словами, у меня есть идеальная компьютерная программа расчета по МКР .Я делаю расчет при любых достаточно больших N,получаю решение. Можно ли ему всегда верить?

[ewert]

eugrita в сообщении #495240 писал(а):

для случая переменных коэф-тов,p(x)
при всех ли ,пусть даже непрерывных p(x) на отрезке [0, L] есть ненулевое решение

Естественно, не всегда. Только если мы не на спектре (если речь о краевой задаче как таковой). И, соответственно, только если мы на спектре, если речь идёт о поиске собственных функций. От вида $p(x)$ качественные свойства задачи ровно никак не зависят -- если, конечно, это функция не слишком экзотична (фактически от неё требуется лишь абсолютная интегрируемость).

[eugrita]

да я спутал.Программы IMSL дают в расчете
спектр,т.е.решение задачио собств знач уравн
$y''+p(x)y=\lambda * y$
а не характеристические числа, так при
$ p(x)=k^2=const $
точный спектр
\lambda_i=k^2 - (\pi *i/L)^2
это я и получил при больших N
Подсунул на тест программе задачу с вынужденными колебаниями
$y''+y=sin(x)$
y(0)=y(\pi )=0 $
она не имеет точного решения (резонанс)
Так 3-диагональн матрица при больших N
оказалась плохо обусловлена. Иначе был бы парадокс точное решение с такими краевыми условиями не существует (легко доказать)
а компьютерное - вроде есть всегда?
2)прочел о задаче теплопроводности с контактным разрывом.(уравн Штурма лиувилля с разрывным множителем) Это интересно. Хотелось бы разобрать вывод уравнения и практич результаты расчета!!!

[ewert]

eugrita в сообщении #496246 писал(а):

2)прочел о задаче теплопроводности с контактным разрывом.(уравн Штурма лиувилля с разрывным множителем) Это интересно. Хотелось бы разобрать вывод уравнения и практич результаты расчета!!!

Это -- отдельная тема для разговора. Вкратце: соотв. уравнение (с разрывным коэффициентом теплопроводности) в классическом смысле, разумеется, некорректно (если не прибегать к аппарату обобщённых функций, что не вполне спортивно в данном случае). Но вот вариационная постановка этой же задачки -- вполне корректна даже и при разрывности того коэффициента уже и в рамках вполне классических функций (а вариационная постановка, между прочим, физически не менее осмысленна, чем исходная). Так вот: если перевести исходную дифференциальную краевую задачку на вариационный язык -- а потом посадить полученную задачку про минимизацию соотв. "энергетического" функционала на сетку -- а потом поварьировать полученный дискретный функционал -- то получится системка "разностных" уравнений, которая уже вполне адекватна исходной задачке.

Насколько точно -- вопрос следующий. Ответ, в принципе, прост: всё зависит от того, попадают ли разрывы на узлы сетки. Попадают -- хорошо; не попадают -- точность, соотв, снижается (хотя схема в принципе всё-таки хоть сколько-то, но продолжает работать).

[ewert]

Да, ещё:

eugrita в сообщении #496246 писал(а):

$y''+y=sin(x)$
y(0)=y(\pi )=0 $
она не имеет точного решения (резонанс)
Так 3-диагональн матрица при больших N
оказалась плохо обусловлена. Иначе был бы парадокс точное решение с такими краевыми условиями не существует (легко доказать)
а компьютерное - вроде есть всегда?

А почему, собственно, резонанс? А потому, что правая часть принадлежит ядру дифференциального оператора из левой части (т.е. является собственной функцией, отвечающей нулевому собственному числу). Для разрешимости же правая часть должна быть ортогональна ядру.

Так вот в данном случае и для сеточного оператора дело обстоит ровно так же. Поскольку некоторым чудесным образом соответствующий дискретный собственный вектор получается просто сносом на сетку точного синуса из правой части. Так что и разностная задача решений тоже не имеет.

Если Вы решали эту разностную систему самопальной программкой, то она вполне могла выдать некое "решение" просто потому, что из-за погрешностей округления не заметила вырожденности матрицы. Однако любой уважающий себя математический пакет непременно выдал бы как минимум предупреждение типа "Matrix is close to singular or badly scaled".

[eugrita]

Я потом пожалел, что кинул этот пример. Резонанс только запутал ситуацию по моему. Данный диф ур не только при правой части =sin(x) но и вообще при любой правой части не имеет решения никаким дискретным методом ни разностной аппроксимацией 2 производной, ни минимизацией функционала ( МКЭ (конечный элемент). Какой метод сведения к дискретной сетке ни применяй результат будет один - в пределе при больших N матрица левой части будет плохо обусловлена, в пределе-вырождена det(A)->0.
Аналогичная вещь при диф. ур с переменными коэффиентами тоже может случиться? Например уравнение Матье
$y''+(c1+c2sin(wx) y=0$
$y(0)=y(L)=0$
при каком то сочетании параметров c1,c2,w,L может оказаться нулевое собственное число ? и та же картина .
Насколько понимаю и если метод прогонки применить к плохо обусловленной или вырожденной матрице, рано или поздно наступит ситуация при вычислении прогоночных коэф-тов P,Q либо деление на 0 либо 0/0