Диф.уравнение 2 порядка.Численное решение.

[Ulya]

Какие известные алгоритмы есть для численное решения дифференциальных уравнений второго порядка. Я слышала о методе прогонки. Не подскажите где ее найти и схему решения.
Спасибо.

[Brukvalub]

Кое-что есть вот здесь: Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. — Численные методы

[Ulya]

Не.Ну хоть бы пример какой был

Добавлено спустя 5 минут 11 секунд:

P.S:и на какой странице так метод прогонки.Я смотрела на стр.409.Там нет (

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

P.S:и на какой странице так метод прогонки.Я смотрела на стр.409.Там нет (

А чего Вы, скажем, на 78-й странице не поискали? В предметном указателе ясно написано, что метод прогонки разбирается на 430 стр.
Посмотрите еще стр. 139 в книге Карташев А.П., Рождественский Б.Л. — Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления

[Ulya]

Ну хоть бы один был пример на метод прогонки для диф.уравнения 2 порядка (

Добавлено спустя 1 час 10 минут 47 секунд:

Мне только не понятно как найти $y_N,\ldots$...по каким формулам, т.е. обратную прогонку не поняла (

[Zai]

Ulya писал(а):

обратную прогонку не поняла

Для численного решения краевой задачи линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами используется подход с решением двух задачи Коши для двух начальных условий. Одно из заданного в на левом граничном условии с нулевым вторым( скажем значение функции задано, а производная не задана). Второе решение исходит из начальных условий равенства нулю значения функции и единичного значения производной. После их интегрирования, скажем по методу Рунге-Кутта, в правом граничном условии мы имеем два значения функции и два значения производной из задач Коши. Используя множитель для второго решения находим коэффициент суперпозиции решений.

Обратная прогонка означает суммировение первого решения в точках с домноженнм вторым решением с целью получения решения.

[TOTAL]

Ulya писал(а):

Какие известные алгоритмы есть для численное решения дифференциальных уравнений второго порядка. Я слышала о методе прогонки. Не подскажите где ее найти и схему решения.
Спасибо.

Скажите точно, о какой задаче идет речь.
Метод прогонки - это способ прямого решения системы линейных алгебраических уравнений специального вида. Он не имеет непосредственного отношения к решению дифференциальных уравнений.

[Brukvalub]

TOTAL писал(а):

Метод прогонки - это способ прямого решения системы линейных алгебраических уравнений специального вида. Он не имеет непосредственного отношения к решению дифференциальных уравнений.

А название "Метод прогонки" - имеет! Посмотрите, например, мои ссылки на книги выше в теме и замечательное разъяснение Zai.

[cardomik]

ааа вопрос к теме метод суперпозиции как звучит и где про него прочитать можно подскажите пожалуйста?!

[mad_math]

можно ещё поискать Демидович, Марон вторую часть. там вполне доступно описано и примеры есть

[AD]

Не забываем смотреть на даты сообщений.

[eugrita]

А вот еще интересный вопрос (особенно для преподавателей со студентами не физико-математической специализации): какие есть наглядные способы интерпретации ЛДУ 2 порядка (с переменными коэф).
Начну отвечать сам: по-моему проще всего если нет члена с y', т.е
$y''+p(x)y=f(x)$
ну здесь проще всего балочная интерпретация - балка переменного сечения (главное переменный момент инерции под действием нагрузки M(x) и продольной сжимающей силы:
$EJ(x)y''+Py=M(x)$
тогда $p(x)=P/EJ(x)$ $f(x)=M(x)/(EJ(x))$
кроме того - к черту традиционное предположение о непрерывности (или даже дифференцируемости) функции p(x) - балка может быть ступенчатой, т.е. p(x) иметь разрывы 1 рода. На результатах классической теории ДУ и на численных методах это не отразится.
На такой модели легко интерпретируются т.н краевые условия 1 и 2 рода
Условие 1 рода - это консольная балка, условие 2 рода - балка с 2 шарнирными опорами. (В обычной ситуации еще поискать примеры краевых условий 2 рода, да и смешанных тоже). Граничные условия типа производных (Неймана) могут тоже механически интерпретироваться специальными цилиндрическими опорами, перемещающимися по вертикали, но сохраняющими направление направляющей цилиндра.
А вот что касаемо общего случая
$y''+q(x)y'+p(x)y=f(x)$
то в физической интерпретации я -пасс. Хотя интересно было бы взглянуть на класс физических или даже экономических задач интерпретируемых этим уравнением. Не зря математики разработали методы стрельбы и прогонки и для этого класса тоже. Хотелось бы видеть в каких задачах их можно применять!!!

[ewert]

eugrita в сообщении #486990 писал(а):

балка может быть ступенчатой, т.е. p(x) иметь разрывы 1 рода. На результатах классической теории ДУ и на численных методах это не отразится.

На классической теории не отразится (если излагать её достаточно вдумчиво), а вот на численных методах -- очень даже отразится: при неаккуратной реализации стандартных схем может снизиться точность.

eugrita в сообщении #486990 писал(а):

А вот что касаемо общего случая
$y''+q(x)y'+p(x)y=f(x)$
то в физической интерпретации я -пасс.

Для физики такой вид уравнений не очень естественен, поскольку дифференциальный оператор несимметричен. Вот если привести это уравнение к дивергентной форме: $(\alpha(x)\,y')'+\beta(x)\,y=\gamma(x),$ то поинтерпретировать можно: тут и уравнение Шрёдингера, и теплопроводность, и ещё чего.

[eugrita]

Вы имеете ввиду фактически сведение дивергентной формы ОДУ к 3-диагональной системе метода конечных элементов (моментные уравнения Галеркина, кусочно-линейный базис)?

[ewert]

Для трёхдиагональности не имеет значения, дивергентная форма или нет: лобовая конечноразностная аппроксимация в любом случае даст трёхдиагональную систему. Дивергентность важна для другого -- для общих свойств уравнения: она позволяет перевести краевую задачу на вариационный язык, что делает численное решение более осмысленным. С другой стороны, дивергентный вид уравнения часто наиболее физичен.