Задача линейного программирования с дробной целевой функцией

[ttrun]

Имеется следующая задача

$$ \frac{x_1-x_2-3 x_4}{3x_1+2x_2+x_3}\to min $$

при ограничениях

$$x_i \geqslant0$$

$$ \left\{ \begin{array}{rcr} x_1+x_2+x_3&=&6 \\ 3x_1-2x_2+x_4&=&9 \\ -x_1+2x_2+x_5&=&10 \\ \end{array} \right. $$

Подскажите, как ее решать. Мне кажется, что это симплекс-метод, но я не знаю, что делать в таком случае с целевой функцией.

[Евгений Машеров]

Задача сводится к линейной.
Положим, что знак знаменателя известен и для определённости примем положительным (для отрицательного изменения очевидны; если определить знак из имеющихся условий задачи или из дополнительных сведений не представляется возможным, решать придётся дважды для обоих случаев)
Обозначим

$$ t=\frac{1}{3x_1+2x_2+x_3} $$

и

$$ y_i=tx_i\ $$

и домножим все ограничения на t.

Кроме того, домножим на t знаменатель (очевидно, получив единицу)

Тогда задача сведётся к

$$ y_1-y_2-3 y_4\to min $$

при ограничениях

$$y_i \geqslant0$$

$$ \left\{ \begin{array} {rcr} y_1+y_2+y_3-6t&=&0 \\ 3y_1-2y_2+y_4-9t&=&0 \\ -y_1+2y_2+y_5-10t&=&0 \\ 3y_1+2y_2+y_3&=&1\\ \end{array} \right. $$

[ttrun]

Честно говоря не представляю, каким методом решать эту задачу. Похоже вроде на симплекс-метод, но "мешается" t

[Alexey1]

ttrun в сообщении #316292 писал(а):

Честно говоря не представляю, каким методом решать эту задачу. Похоже вроде на симплекс-метод, но "мешается" t

В каком смысле мешается? Такая же неизвестная как и все остальные.

[ttrun]

т.е. мы ее грубо говоря считаем за y_6?

[Alexey1]

ttrun в сообщении #316324 писал(а):

т.е. мы ее грубо говоря считаем за y_6?

Да, можете назвать так.

[Евгений Машеров]

Задача, к которой сводится дробно-линейная, есть обычная задача ЛП. Обозначение t взамен y сделано исключительно для простоты объяснения. С точки зрения решения задачи t - такая же линейная переменная. Её, при желании, можно переобозначить, как y с соответствующим индексом.
После решения, получив значение t и y, переходят к значениям x.

[ttrun]

большое спасибо!! просто сбила с толку буква t, сейчас проверил - все правильно) Еще раз спасибо

[sorrat]

Здравствуйте, а то что $t>0$, а не $t\geqslant 0$ играет значение?

[Евгений Машеров]

А что произойдёт при t=0?