Замощение пространства окружностями

[TOTAL]

Padawan в сообщении #495829 писал(а):

При этом внешняя и внутренняя параллели пусть двигаются как при вращении, а остальные - как нибудь, лишь бы всё время движущаяся поверхность состояла из окружностей, и в разные моменты времени эти поверхности бы не пересекались. И движение надо построить таким образом, чтобы одна половинка поверхности $T$ перешла в итоге в другую.

Вот с остальными параллелями и проблема. Плоскости этих параллелей не проходят через ось окружности $S'.$ Так что нет пока решения.

[Хорхе]

Могу замостить замкнутое полупространство.

-- Вт окт 25, 2011 12:38:06 --

Ааа, ну так всё получается. Замкнутое полупространство - то же самое, что шар без точки на поверхности. Делаем из таких шаров бесконечный шашлык, а всё остальное легко замощается.

-- Вт окт 25, 2011 12:45:26 --

А замкнутое полупространство замещается так (наверное, можно и попроще): берем это самое полупространство, выкидываем из него граничную плоскость $P$ и прямую $l$, параллельную границе. Оставшееся легко замощается в плоскостях, перпендикулярных $l$ и $P$. (Там получаются такие открытые полуплоскости с дырками.) Теперь делаем инверсию с центром $O$ на $P$, $l$ переходит в окружность, проходящую через $O$, рисуем эту окружность. Нам осталось только заполнить $P$ с дыркой в $O$, но это задача совсем простая. Ну а из замкнутого полупространства шарик без граничной точки получается снова инверсией.

[TOTAL]

Хорхе в сообщении #495870 писал(а):

А замкнутое полупространство замещается так (наверное, можно и попроще): берем это самое полупространство, выкидываем из него граничную плоскость $P$ и прямую $l$, параллельную границе. Оставшееся легко замощается в плоскостях, перпендикулярных $l$ и $P$. (Там получаются такие открытые полуплоскости с дырками.)

Как замостить полуплоскость без границы и без одной точки? - этот вопрос снимаю.

Не вижу ошибки в таком замощении 3D.

[Хорхе]

Пусть у нас это правая полуплоскость без точки $(1,0)$. Начинаем с нулевого радиуса и с центра в точке $(1,0)$. Потом крайнюю левую точку окружности двигаем влево по оси, а центр - вправо, так, чтобы положение левой точки в начале координат соответствовало бесконечному радиусу. Согласно неравенству треугольника, окружности не пересекаются, а если мы двигаем все непрерывно - то они замощают то, что нам надо.

Например, явно можно написать: это окружности на диаметрах с концами в $(t,0)$ и $(t(1-t)^{-1},0)$, $t \in(0,1)$.

Пока писал, вопрос сняли Но пусть все равно будет.


-- Вт окт 25, 2011 14:19:26 --

Да, конечно, можно проще (если аккуратно посмотреть, к чему инверсия ведет). Возьмем открытый шарик, выбросим из него окружность из плоскости центра, касающуюся границы в точке $K$, проведем касательную к шару в этой точке перпедикулярно окружности. Через эту касательную проводим плоскость. В пересечении с просверленным шаром получается открытый круг с дыркой, который легко заполнить (кстати, почему-то я забыл про комплексные дробно-линейные преобразования, ну да ладно). Потом дорисовываем выброшенную в начале окружность, получая открытый шар с пимпочкой. Ну а там недалеко и до замкнутого шара без пимпочки (хотя он и не нужен, из открытых шаров с пимпочками тоже получается шашлык что надо).

[TOTAL]

Хорхе в сообщении #495882 писал(а):

Да, конечно, можно проще (если аккуратно посмотреть, к чему инверсия ведет). Возьмем открытый шарик, выбросим из него окружность из плоскости центра, касающуюся границы в точке $K$, проведем касательную к шару в этой точке перпедикулярно окружности. Через эту касательную проводим плоскость. В пересечении с просверленным шаром получается открытый круг с дыркой, который легко заполнить

выбросим из него окружность из плоскости центра, касающуюся границы в точке $K$ и проходящую через центр шара (открытые круги в пересечении заполнять совсем просто! )

Вот ещё как можно сформулировать.

Нарисуем первую окружность и отметим на ней т. $K.$ Для каждой отличной от $K$ точки $O$ этой окружности нарисуем всевозможные окружности, плоскость которых перпендикулярна плоскости первой окружности, центр находится в т. $O$, а радиус меньше $OK.$ Получили открытыё шар плюс точка на его границе.

[Padawan]

Хорхе

[Cash]

Браво, Хорхе!
Конструкция из шашлыков - это просто ... Гениально