Базис P3 (линейка)

[GrishinUS]

Здравствуйте,

Найдите базис $U$. $U=\{ p(x) \in P_3 \vert p(7)=0 \}$.

Мое решение:

Многочлен вида $P_3$ это $ax^3 +bx^2+cx+d$, где коэффициенты $a,b,c,d \in \mathbb{R}$.
Получается $a(7^3)+ b(7^2)+c(7)+d=0$, но тогда $d=-343a-49b-7c$ это линейная комбинация $a,b,c$ то есть базиса из этого не получится. Что делаю не так?

Спасибо.

[ИСН]

GrishinUS в сообщении #495817 писал(а):

то есть базиса из этого не получится

Вы нас забыли ознакомить: из чего "этого"?

[alcoholist]

Сначала найдите базис подпространства $P(0)=0$... А там уже сообразите

[Joker_vD]

GrishinUS
То, что ищете сами не знаете что. Ну доказали вы, что четыре константных многочлена не образуют базис, ну и что? Оно сразу было ясно. Вам нужно найти л.н.з. многочлены $f_1,\dots,f_n \in U$, чтобы любой многочлен из $U$ разваливался в их линейную комбинацию.

Я вам даже дам совет: возьмите в качестве $f_k$ многочлен $k$-той степени из $U$. Покажите, что у вас получится л.н.з. система (ну, это очевидно), а потом — что эта система полна, т.е. что вы можете из них состряпать любой многочлен из $U$. Тут вам как раз поможет условие на $d$, которое вы вывели.