Равномерная и абсолютная сходимость рядов

[lega4]

1. Исследовать на абсолютную сходимость ряд с таким общим членом: $ \frac {\sin (xn)}{\sqrt{n}} -\frac {\sin x(n+1)}{\sqrt{n+1}}$, $|x|<1$
Вроде он абсолютно расходится для любых ненулевых иксов (Программкой навскидку проверил), но доказать не получается.
Была мысль добавить-вычесть что-то вроде $ \frac {\sin (xn)}{\sqrt{n+1}}$, но сильно легче не стало.
2. Исследовать на равномерную сходимость. С помощью программ вроде видно, что частичные суммы числителя ограничены где-то 6-7, поэтому хочется столкнуть к признаку Дирихле, но у меня не получается доказать эту ограниченность.
$\frac {\sin n \cdot \sin \frac{x}{n}}{x^2+n}$
P.S. Если можно, то не надо сразу все док-во выкладывать, я надеюсь, мне намека хватит.

[SpBTimes]

1) абсолютно расходится что значит?
2) в разность косинусов превратите

[Padawan]

Чему равна 100-я частичная сумма? $n$-ая частичная сумма?

[lega4]

Цитата:

1) абсолютно расходится что значит?

Значит, что ряд из модулей расходится.

Цитата:

2) в разность косинусов превратите

Задание изначально и было с разностью косинусов. Пробовал расписать частичные суммы, но как-то не приходит в голову идея, на что это безобразие надо домножить, чтобы все посокращалось...

Цитата:

Чему равна 100-я частичная сумма?

мм.... Без понятия, честно говоря...

[ewert]

lega4 в сообщении #495496 писал(а):

2. Исследовать на равномерную сходимость.

Там же в хвосте ряда практически всё сокращается.

lega4 в сообщении #495496 писал(а):

Вроде он абсолютно расходится для любых ненулевых иксов

Замена во втором знаменателе $\sqrt{n+1}$ на просто $\sqrt{n}$ не меняет никакой сходимости, поскольку соотв. поправка, очевидно, сама по себе даёт абсолютно сходящийся ряд. А теперь, после того, как знаменатели выровнялись, разность синусов в числителе сворачивается в некоторое произведение, с которым всё ясно.

[alcoholist]

Зачем такие сложности для ряда $\sum (a_n-a_{n+1})$?

[SpBTimes]

Вот-вот. Просто распишите n первых членов - все сократится.

[ewert]

alcoholist в сообщении #495569 писал(а):

Зачем такие сложности для ряда $\sum (a_n-a_{n+1})$?

Оно конечно; только при чём тут абсолютная сходимость?...

[lega4]

alcoholist в сообщении #495569 писал(а):

Зачем такие сложности для ряда ?

SpBTimes в сообщении #495579 писал(а):

Просто распишите n первых членов - все сократится.

Сократится, если мы, собственно, этот ряд рассматриваем. А когда ряд из модулей, т.е. исследуем на абсолютную, то там ничего никак не сокращается.

ewert в сообщении #495564 писал(а):

Там же в хвосте ряда практически всё сокращается.

В смысле?

ewert в сообщении #495564 писал(а):

Замена во втором знаменателе $\sqrt{n+1}$ на просто $\sqrt{n}$ не меняет никакой сходимости, поскольку соотв. поправка, очевидно, сама по себе даёт абсолютно сходящийся ряд. А теперь, после того, как знаменатели выровнялись, разность синусов в числителе сворачивается в некоторое произведение, с которым всё ясно.

Я думаю, что "не меняет никакой сходимости" - это надо доказывать, как-то не очевидно... Не очень понял фразу "сама по себе дает абсолютно сходящийся ряд". А в остальном вроде все хорошо, спасибо.

[ewert]

lega4 в сообщении #495696 писал(а):

Я думаю, что "не меняет никакой сходимости" - это надо доказывать, как-то не очевидно...

Практически очевидно. Т.е. вполне очевидно, что сумма или разность двух абсолютно сходящихся рядов сходится тоже абсолютно. И, соответственно: если в сумме двух рядов абсолютно сходится одна из компонент, то абсолютная сходимость другой компоненты равносильна абсолютной сходимости всей суммы.

[lega4]

ewert в сообщении #495719 писал(а):

Т.е. вполне очевидно, что сумма или разность двух абсолютно сходящихся рядов сходится тоже абсолютно. И, соответственно: если в сумме двух рядов абсолютно сходится одна из компонент, то абсолютная сходимость другой компоненты равносильна абсолютной сходимости всей суммы.

Это и правда очевидно, но у нас же, во-первых, модуль суммы (не сумма каких-то слагаемых), а во-вторых, я все равно не уловил, почему можем так легко взять и зачеркнуть эту единичку.

[ewert]

lega4 в сообщении #495730 писал(а):

Это и правда очевидно, но у нас же, во-первых, модуль суммы,

Ну одно из двух: либо это и впрямь очевидно, либо Вы зачем-то (в этом вопросе) различаете свойства суммы и разности.

lega4 в сообщении #495730 писал(а):

а во-вторых, я все равно не уловил, почему можем так легко взять и зачеркнуть эту единичку.

Потому, что единичное приращение любой вообще степени эквивалентно степени, на единичку меньшей (с точностью до постоянного множителя). Это следует ну хотя бы из теоремы Лагранжа. Соответственно, если эта степень сидела в знаменателе -- после взятия приращения она там, в знаменателе, на единичку увеличится. Что даёт уже абсолютную сходимость, притом даже с некоторым запасом.

[lega4]

ewert в сообщении #495734 писал(а):

Потому, что единичное приращение любой вообще степени эквивалентно степени, на единичку меньшей (с точностью до постоянного множителя). Это следует ну хотя бы из теоремы Лагранжа. Соответственно, если эта степень сидела в знаменателе -- после взятия приращения она там, в знаменателе, на единичку увеличится. Что даёт уже абсолютную сходимость, притом даже с некоторым запасом.

Теперь хоть немного понял про эти махинации с единичкой) Но не понял (в данном случае), причем тут эквивалентность.
Расписали: $ | \frac {\sin (xn)}{\sqrt{n}} -\frac {\sin x(n+1)}{\sqrt{n+1}} | = | \frac {\sin (xn)-\sin x(n+1)}{\sqrt{n} } +\frac {\sin x(n+1)}{\xi^{3/2}} |$
Чтобы доказать расходимость, надо оценивать снизу. Если бы дроби с $\xi$ не было, то отлично оценивается, сразу видно, что расходится. Но дробь есть - что предлагается с ней делать?

[ИСН]

Её предлагается оценивать... сверху.

[lega4]

ИСН т.е. вы хотите сказать, что это безобразие сходится абсолютно? Можно с этого места поподробнее? С какого перепугу $|2 \frac {\sin\frac{x}{2} \cdot \cos \frac{2nx+x}{2} }{\sqrt{n}}|$ сходится?