Никакая многозначная логика, включая логику с континуумом значений (типа fuzzy или вероятностной) не избавит от этого парадокса. Всё равно

будет выводимо в этой логике из указанной Вами аксиомы.
eprosНу Вы сказали. В К-системах именно многозначная логика избавляет от этого парадокса. В том смысле, что выводимо это будет, но будет лишь означать
неразрешимость 
.
Если часы пробили 13 раз, то ... (с).
Если в логической системе выводимо абсурдное утверждение, то это может
означать только одно - на выводы этой логической системы полагаться нельзя.
Продемонстрирую на примере вероятностной логики. Если заложить схему аксиом "наивной теории множеств":
![$\exists y \forall x ~ [x \in y \leftrightarrow \varphi(x)]$ $\exists y \forall x ~ [x \in y \leftrightarrow \varphi(x)]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/e/43e59f6d5564ded3f5aa257fb505527a82.png)
(в терминах вероятностной логики это запишется как
![$p\{\exists y \forall x ~ [x \in y \leftrightarrow \varphi(x)]\} = 1$ $p\{\exists y \forall x ~ [x \in y \leftrightarrow \varphi(x)]\} = 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/f/12f94473aa5fb8066da39ca62744fed082.png)
), то отсюда известным образом выведется существование такого

, для которого

. Думаете, это означает равенство

, т.е.

? А вот и нетушки. Объясняю:

можно заменить на

. По формуле вероятности логической суммы, с учетом того, что

и

несовместны:

. Далее, заменяя

на

:

. Теперь подставим

вместо

:

. Что и следовало ожидать - абсурдное утверждение имеет нулевую вероятность. Так что

и, как ни крути, с доказанностью

это никак не уживается.
eprosПредлагаю уточнить, чем мы тут (в этой теме) занимаемся: голой полемикой или выяснением истины?
Если полемикой, то задача состоит в том, чтобы утопить собеседников всеми приемлемыми способами. В частности, посредством специально подобранных максимально запутанных и усложненных примеров.
Что касается меня, мне
голая полемика не интересна (хотя отдельные полемические приемы мне не чужды).
Так вот, постараюсь быть ближе к делу и спрошу Вас, а с какого такого перепугу нам для выяснения истины нужно так усложнять примеры - до того, что мы сами перестаем понимать суть?
Так что беру простейший пример - логику с тремя значениями:

(истинно, ложно, неразрешимо). И никаких аксиоматик!!! Вместо этого примем истиностную таблицу для отрицания:

ИМХО именно такая таблица для отрицания в трехзначной логике Клини. Предположим также, что любое высказывание может принимать одно и только одно истиностное значение (в частности, высказывание не может быть истинным и ложным одновременно).
Далее, предположим, что мы тем или иным способом доказали теорему (возможно, метатеорему): если

истинно, то истинно

.
Что следует из этой теоремы? А следует то, что

не может быть истинным.
Аналогично, из теоремы: если

истинно, то истинно

заключаем, что

не может быть ложным.
В итоге

неразрешимо. И никакого абсурда.
ЗЫ. Здесь я простым языком изложил смысл логики К-систем.