Нормальное уравнение прямой записывается

.
Утверждается, что значение

в этом уравнении -это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую

. Однако

будет являться значением длины перепендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую

, только тогда, когда

и

. Иначе

не является значением перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую. Это следует из хода доказательства получения нормального уравнения прямой и длины перпендикуляра

.
Отсюда следует, что расстояние от точки до прямой, вычисляемое по формуле

, является правильным только при

и

.
Возникает вопрос, как определять расстояния от начала координат до прямой и от точки до прямой?
Рассмотрим решение этого вопроса на примере.
Пример. Даны уравнение прямой
и координаты точки
. Найти расстояние
от начала координат до прямой и расстояние
от точки до прямой.Решение:
1)Найдём расстояние

от начала координат до прямой.
Для этого найдём уравнение прямой, совпадающей с перпендикуляром, проведённым из начала координат к прямой.
Так как угловой коэффициент прямой

равен

, то угловой коэффициент

прямой, совпадающей с перпендикуляром, найдём из условия перпендикулярности прямых

. Отсюда

.
Так как перпендикуляр проходит через начала координат, то уравнение прямой, совпадающее с перпендикуляром, будет

.
Найдём координаты точки

пересечения прямой и перпендикуляра. Для этого рассмотрим систему уравнений

Решив эту систему уравнений, получаем координаты точки

.
Отсюда расстояние

от начала координат до прямой

будет равно расстоянию от начала координат
до точки

.

.
2) Найдём расстояние

от точки

до прямой

.
Для этого находим уравнение прямой, параллельной данной прямой

и проходящую через координаты
точки

. Значения угловых коэффициентов прямых равны

. Отсюда подставим значение

и значения координат точки

в выражение функции прямой

. Получаем

, отсюда

и далее

. Таким образом, уравнение прямой, параллельной прямой

и проходящей через точку

, будет

.
Координаты точки

пересечения получившейся прямой и прямой, совпадающей с перпендикуляром, получим из решения системы

Координаты точки

будут

.
Точки

и

лежат на прямой

, совпадающей с перпендикуляром из начала координат к прямой

и параллельной ей прямой

.
Отсюда получаем расстояние

от точки

до прямой

как расстояние от точки
до точки

:
