Расстояние от точки до прямой.

[Vadim Shlovikov]

Нормальное уравнение прямой записывается $x\cos\alpha+y\sin\alpha-p=0$.
Утверждается, что значение $p$ в этом уравнении -это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую $x\cos\alpha+y\sin\alpha=p$. Однако $p$ будет являться значением длины перепендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую $x\cos\alpha+y\sin\alpha=p$, только тогда, когда $x\cos\alpha\geq0$ и $y\sin\alpha\geq0$. Иначе $p$ не является значением перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую. Это следует из хода доказательства получения нормального уравнения прямой и длины перпендикуляра $p$.
Отсюда следует, что расстояние от точки до прямой, вычисляемое по формуле $|d|=|x_1\cos\alpha+y_1\sin\alpha-p|$, является правильным только при $x_1\cos\alpha\geq0$ и $y_1\sin\alpha\geq0$.
Возникает вопрос, как определять расстояния от начала координат до прямой и от точки до прямой?
Рассмотрим решение этого вопроса на примере.
Пример. Даны уравнение прямой $2x+y-3=0$ и координаты точки $A (-1;-2)$. Найти расстояние $L$ от начала координат до прямой и расстояние $d$ от точки до прямой.
Решение:
1)Найдём расстояние $L$ от начала координат до прямой.
Для этого найдём уравнение прямой, совпадающей с перпендикуляром, проведённым из начала координат к прямой.
Так как угловой коэффициент прямой $2x+y-3=0$ равен $k_1=-2$, то угловой коэффициент $k_2$ прямой, совпадающей с перпендикуляром, найдём из условия перпендикулярности прямых $k_1\cdot k_2=-1$. Отсюда $k_2=\frac{1}{2}$.
Так как перпендикуляр проходит через начала координат, то уравнение прямой, совпадающее с перпендикуляром, будет $-\frac{1}{2}x+y=0$.
Найдём координаты точки $B$ пересечения прямой и перпендикуляра. Для этого рассмотрим систему уравнений $\begin{cases}2x+y-3=0\\-\frac{1}{2}x+y=0.\end{cases}$
Решив эту систему уравнений, получаем координаты точки $B (\frac{6}{5};\frac{3}{5})$.
Отсюда расстояние $L$ от начала координат до прямой $2x+y-3=0$ будет равно расстоянию от начала координат
до точки $B$.
$|L|=|\sqrt{(\frac{6}{5}-0)^2+(\frac{3}{5}-0)^2}|=|\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{9}{25}}|=|\sqrt{\frac{45}{25}}|=\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{3}{\sqrt{5}}$.
2) Найдём расстояние $d$ от точки $A (-1;-2)$ до прямой $2x+y-3=0$.
Для этого находим уравнение прямой, параллельной данной прямой $2x+y-3=0$ и проходящую через координаты
точки $A$. Значения угловых коэффициентов прямых равны $k_1=k_3=-2$. Отсюда подставим значение $k_3$ и значения координат точки $A$ в выражение функции прямой $y=kx+b$. Получаем $-2=-2\cdot(-1)+b$, отсюда $b=-4$ и далее $y=-2x-4$. Таким образом, уравнение прямой, параллельной прямой $2x+y-3=0$ и проходящей через точку $A$, будет $2x+y +4=0$.
Координаты точки $C$ пересечения получившейся прямой и прямой, совпадающей с перпендикуляром, получим из решения системы $\begin{cases}2x+y+4=0\\ -\frac{1}{2}x+y=0.\end{cases}$
Координаты точки $C$ будут $(-\frac{8}{5};-\frac{4}{5})$.
Точки $B$ и $C$ лежат на прямой $-\frac{1}{2}x+y=0$, совпадающей с перпендикуляром из начала координат к прямой $2x+y-3=0$ и параллельной ей прямой $2x+y+4=0$.
Отсюда получаем расстояние $d$ от точки $A (-1;-2)$ до прямой $2x+y-3=0$ как расстояние от точки $C (-\frac{8}{5};-\frac{4}{5} )$
до точки $B (\frac{6}{5};\frac{3}{5} )$:
$|d|=| \sqrt{(\frac{6}{5}-(-\frac{8}{5}))^2+(\frac{3}{5}-(-\frac{4}{5}))^2} |=|\sqrt{(\frac{14}{5})^2+(\frac{7}{5})^2}|=|\sqrt{\frac{196}{25}+\frac{49}{25}}|=|\sqrt{\frac{245}{25}}|=|\sqrt{\frac{49}{5}}|=\frac{7}{\sqrt{5}}.$

[ha]

Никаких проблем нет: $|\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot -1 + \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot -2 - \frac{3}{\sqrt{5}} | = | - \frac{7}{\sqrt{5}} | = \frac{7}{\sqrt{5}}$.

[AKM]

Vadim Shlovikov в сообщении #495285 писал(а):

Возникает вопрос, как определять расстояния от начала координат до прямой и от точки до прямой?

Vadim Shlovikov,

такой вопрос здесь ни у кого не возникает.
Если он возникнет у студента, то последний найдёт корректное изложение вопроса в любом учебнике.

Бан за засорение форума бессодержательными сообщениями с претензиями на открытия, за злокачественное дилетантство и невежество.