Студенческая олимпиада НГУ по математике (23 октября 2011г.)

[bot]

1. Некоторый многочлен степени $2011$ с целыми коэффициентами принимает значения $\pm 1$ в
$2011$ различных точках. Можно ли его разложить в произведение
многочленов меньших степеней с целыми коэффициентами?

2. Среди 29 разложенных в ряд монет имеется 3 фальшивые, причём известно, что они лежат подряд. Настоящие монеты имеют стандартный вес, а фальшивые какой попало, но легче настоящей. За три взвешивания на рычажных весах выявить все три фальшивые монеты.

3. Найти все действительные решения уравнения $x\sqrt {y - 1} + y\sqrt {x - 1} = xy$

4. В четырёхугольнике $ABCD$ углы $\angle B$ и $\angle D$ прямые, а длины сторон $AB$ и $AD$ равны. На прямых $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки
$E$ и $F$ так, что $DE\bot AF$. Докажите, $AE\bot BF$.

5. Найти все действительные решения системы уравнений

$$\left\{\begin{matrix}x^4 + y^4 + z^4 = 2\\ x^5 + y^5 +z^5 = 2\\ x^6 + y^6 + z^6 =2\end{matrix}\right.$$

3' Вычислить предел $\lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}.$

4'. Существует ли такая биекция $\pi: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$, при которой сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\pi(n)}{n^2}$?

5'. Векторное умножение на фиксированный вектор $u$ задаёт в трёхмерном вещественном пространстве линейное преобразование $\varphi: x\rightarrow u\times x$,
переводящее любой вектор $x$ в ему ортогональный. Доказать обратное утверждение: любое линейное преобразование $\varphi$, переводящее всякий вектор
в ему ортогональный, представимо в виде $\varphi (x)=u\times x$ для подходящего вектора $u$.

Для 1-го курса задачи 1-5, для 2-4 курсов 1,2, 3'-5'.

[nnosipov]

bot в сообщении #495251 писал(а):

Некоторый многочлен степени $2011$ с целыми коэффициентами принимает значения $\pm 1$ в $2011$ различных точках.

В целых точках?

[bot]

Это не имеет значения.

[nnosipov]

Тогда какой ответ?

[Cash]

5. По моему разбиралась недавно.
Складывая первое и третье и вычитая удвоенное второе получаем
$x^4(x-1)^2+y^4(y-1)^2+z^4(z-1)^2=0$

[bot]

(Оффтоп)

Предложение отделить 1-й курс поступило поздновато, пришлось верстать в великой спешке (завершал прямо сегодня утром), далеко бегать некогда было, вот отсюда и спёр, творчески заменив 3-ку на 2-ку.

[Praded]

3. Преобразовать до $\frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{\sqrt{x-1}}{x}=1$.

[bot]

bot в сообщении #495271 писал(а):

Это не имеет значения.

Блин, имеет значение.

-- Вс окт 23, 2011 15:56:32 --

Целые или не целые - задачи разные и ответы разные, впрочем обе несложные.

[mihiv]

3.Допустимые значения:$x,y\geq 1$.Перепишем в виде:$x(\sqrt {y-1}-\dfrac y2)=-y(\sqrt {x-1}-\dfrac x2)$.Выражения в скобках для допустимых значений $x,y$ неположительны,поэтому левая часть равенства $\leq 0$,а правая - $\geq 0$,отсюда $\sqrt {y-1}-\dfrac y2=\sqrt {x-1}-\dfrac x2=0$ и $x=y=2$

[MrDindows]

А я третью решил так:
Заменив $x=\frac{1}{\sin^2{\alpha}}; \ y=\frac{1}{\sin^2{\beta}}$ (ОДЗ позволяет) , и после тождественных преобразований получил:
$\sin {2\alpha}+\sin {2\beta}=2$
Откуда:
$\sin {2\alpha}=1$
$\sin {\alpha}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
$x=\frac{1}{\sin^2 {\alpha}}=2$

-- Вс окт 23, 2011 12:24:36 --

Решение второй задачи:
Взвешиваем две группы монет (под номерами): (3, 6, 9) и ( 12, 15, 18). Из результата делаем вывод, что фальшивые монеты могут быть в группах:
Либо 1..11, ( если (3, 6, 9) < ( 12, 15, 18) )
Либо 10..20, ( если (3, 6, 9) > ( 12, 15, 18) )
Либо 19..29, ( если (3, 6, 9) = ( 12, 15, 18) )
Итого у нас 3 группы, в каждой из которых по 11 монет.
Без ограничения, будем рассматривать группу 1..11.

Вторым взвешиванием взвешиваем монеты: (3) и (6).
Тогда фальшивые могут быть в группах:
Либо 1..5, ( если (3) < (6) )
Либо 4..8, ( если (3) > (6) )
Либо 7..11, ( если (3) = (6) )

Получили три группы по 5 монет.
1..5
Монета 3 точно фальшивая.
Взвешиваем (1) и (5). Если они равны, то фальшивые: 2,3,4, и если какая-то меньше, например 1, то фальшивые 1,2,3

[mihiv]

3'.Делаем замену $u=\ln t$,применяем теорему о среднем и получим предел равный $\ln 2$

[Padawan]

3'. Можно подынтегральную функцию разложить $\frac{1}{\ln t}=\frac{1}{t-1}+O(1)$.

[Oleg Zubelevich]

bot в сообщении #495251 писал(а):

. Существует ли такая биекция $\pi: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$, при которой сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\pi(n)}{n^2}$?

$\sum\limits_{n=1}^m\frac{\pi(n)}{n^2}\ge\frac{\pi(1)+\ldots+\pi(m)}{m^2}\ge \frac{1+\ldots+m}{m^2} $
жидковатая олимпиада
5' -- просто скучная

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #495326 писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^m\frac{\pi(n)}{n^2}\ge\frac{\pi(1)+\ldots+\pi(m)}{m^2}\ge \frac{1+\ldots+m}{m^2} $

И что это доказывает?

[Oleg Zubelevich]

Ничего не доказывает! Это меня переклинило