Студенческая олимпиада НГУ по математике (23 октября 2011г.)

[Руст]

Еще тупо видим

$$0=2xy-2x\sqrt{y-1}-2y\sqrt{x-1}=x(y-1-2\sqrt{y-1}+1)+y(x-1-2\sqrt{x-1}+1)=$$ $$=x(\sqrt{y-1}-1)^2+y(\sqrt{x-1}-1)^2\to x=y=2.$$

[TOTAL]

И ещё
$xy=x\sqrt{1 \cdot (y-1)}+y\sqrt{1 \cdot(x-1)}$ \le x \frac{1 +(y-1)}{2}+y \frac{1+(x-1)}{2} =xy
Равенство имеет место, только если $1=y-1, \;\; 1=x-1$

[Arcanine]

Может даст кто наводку по 3'?

[Shadow]

Цитата:

3. Найти все действительные решения уравнения $x\sqrt {y - 1} + y\sqrt {x - 1} = xy$

$\frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{\sqrt{x-1}}{x}=1$
Одно из слагаемых не меньше 1/2.

-- 05.04.2012, 10:45 --

Что написал Praded в начале.

-- 05.04.2012, 10:50 --

Посмотрел внимательно тему. Как минимум 3 решения были предложены. Какие еще наводки!
Простите, не увидел знак '. Не 3, а 3'.

[Arcanine]

А как образовалось равенство $\frac{1}{\ln t}=\frac{1}{t-1}+O(1)?$ Через эквивалентность?

[myra_panama]

$\ln t=\ln({1+(t-1)})=...$

[Arcanine]

С этим теперь понятно.

mihiv в сообщении #495298 писал(а):

3'.Делаем замену $u=\ln t$,применяем теорему о среднем и получим предел равный $\ln 2$

Здесь не очень понимаю, как "прикрутить" теорему о среднем.

[TOTAL]

Arcanine в сообщении #556706 писал(а):

Здесь не очень понимаю, как "прикрутить" теорему о среднем.

А вот так

$$\lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}= \lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\left(\frac{1}{t\ln t}+ \frac{(t-1)}{t\ln t}\right)dt= \lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{t\ln t}$$

[ewert]

bot в сообщении #495251 писал(а):

3' Вычислить предел $\lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}.$

Arcanine в сообщении #556706 писал(а):

не очень понимаю, как "прикрутить" теорему о среднем.

$$x\equiv1+h,\ \ t\equiv1+s;$$

$$\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}=\int\limits_h^{2h+h^2}\frac{ds}{\ln(1+s)}=\int\limits_h^{2h+h^2}\frac{ds}{s(1+O(s))}\;\text{\bf\Huge=}\;\frac{1}{1+O(h)}\int\limits_h^{2h+h^2}\frac{ds}{s}=\frac{1}{1+O(h)}\,\ln\frac{2h+h^2}{h}\;\mathop{\longrightarrow}\limits_{h\to0}\;\ln2.$

[MrDindows]

TOTAL в сообщении #556867 писал(а):

Arcanine в сообщении #556706 писал(а):

Здесь не очень понимаю, как "прикрутить" теорему о среднем.

А вот так

$$\lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}= \lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\left(\frac{1}{t\ln t}+ \frac{(t-1)}{t\ln t}\right)dt= \lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{t\ln t}$$

Но ведь $\lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{t\ln t}=\infty$ ?

[ewert]

MrDindows в сообщении #557042 писал(а):

Но ведь $\lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{t\ln t}=\infty$ ?

Нет, конечно. Хотя при чём конкретно в этой выкладке именно теорема о среднем -- я тоже не понял.

[Dave]

MrDindows в сообщении #557042 писал(а):

Но ведь $\lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{t\ln t}=\infty$ ?

$$\int_x^{x^2} \frac {dt} {t\ln t} = \int_x^{x^2} \frac{d \ln t} {\ln t}=\int_x^{x^2} d \ln \ln t=\ln \ln t \Bigr|_x^{x^2}=(\ln 2 +\ln \ln x)-\ln \ln x=\ln 2$$

TOTAL в сообщении #556867 писал(а):

Arcanine в сообщении #556706 писал(а):

Здесь не очень понимаю, как "прикрутить" теорему о среднем.

А вот так

$$\lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}= \lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\left(\frac{1}{t\ln t}+ \frac{(t-1)}{t\ln t}\right)dt= \lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{t\ln t}$$

Теорему о среднем можно "прикрутить" ко второму интегралу:

$$\lim_{x\to 1} \int_x^{x^2} \frac {t-1} {t \ln t} dt=\{u=u(x) \in [x,x^2]\}=\lim_{x\to 1} \left((x^2-x) \frac {u-1} {u \ln u}\right)=\lim_{x\to 1} \frac x u \, \lim_{x\to 1} (x-1) \, \lim_{x\to 1} \frac {u-1} {\ln u} = 1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$$

[ewert]

Dave в сообщении #557098 писал(а):

Теорему о среднем можно "прикрутить" ко второму интегралу:

Беда лишь в том, что её туда вовсе ни к чему прикручивать: подынтегральная функция там тупо ограниченна.

[Dave]

ewert в сообщении #557100 писал(а):

Dave в сообщении #557098 писал(а):

Теорему о среднем можно "прикрутить" ко второму интегралу:

Беда лишь в том, что её туда вовсе ни к чему прикручивать: подынтегральная функция там тупо ограниченна.

Это и есть словесная формулировка применения теоремы о среднем к интегралу, длина отрезка интегрирования которого стремится к нулю, а подинтегральная функция ограничена.

[ewert]

Dave в сообщении #557110 писал(а):

Это и есть словесная формулировка применения теоремы о среднем к интегралу, длина отрезка интегрирования которого стремится к нулю, а подинтегральная функция ограничена.

Нет, это гораздо более грубая теорема. Она требует лишь ограниченности подынтегральной функции, и ни разу не требует её непрерывности.