О парадоксах расширениях

[AKM]

Mega Sirius12 в сообщении #495038 писал(а):

я придумаю другие правила и не будет мнимых чисел

Нас тут регулярно потчуют обещалками. "Вот придумаю правильную линейность, и как всё потечёт по проводам!"

Придумайте. Расскажите. Мы сядем в кружочек, и будем наблюдать исчезновение мнимых чисел.

[Mega Sirius12]

ок-вот система умножения $(a;b)*(c;d)=(ac+bd;bc+ad)$
как видите, в такой алгебре корня из отрицательной единицы нет

[PAV]

Зато есть делители нуля
$(1;1)\cdot (-1;1)=(0;0)$

[Sonic86]

Mega Sirius12 в сообщении #495052 писал(а):

ок-вот система умножения $(a;b)*(c;d)=(ac+bd;bc+ad)$
как видите, в такой алгебре корня из отрицательной единицы нет

В принципе без разницы как Вы определите свою операцию. Существование одной алгебры не отменяет существование другой алгебры. А вот как полезнее будет?

[Kallikanzarid]

Mega Sirius12
Поздравляю, вы открыли для себя двойные числа ($\mathbb{R}[x]/(x^2 - 1)$), теперь докажите, что это кольцо изоморфно $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ и для комплекта опишите явно дуальные числа ($\mathbb{R}[x]/(x^2)$) и опишите свойства многочленов над ними, это отличное упражнение по алгебре :)

[serval]

Цитата:

откуда взялись правила,я придумаю другие правила

1. Их придумали исходя из определенных потребностей.
2. Придумайте. Из чего будете исходить?

[Mega Sirius12]

Цитата:

Зато есть делители нуля
$(1;1)\cdot (-1;1)=(0;0)$

а что в этом плохого?

-- 22.10.2011, 17:56 --

Цитата:

Mega Sirius12
Поздравляю, вы открыли для себя двойные числа ($\mathbb{R}[x]/(x^2 - 1)$), теперь докажите, что это кольцо изоморфно $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ и для комплекта опишите явно дуальные числа ($\mathbb{R}[x]/(x^2)$) и опишите свойства многочленов над ними, это отличное упражнение по алгебре :)

Спасибо-только объясните, что значит изоморфно, какие свойства многочленов и что значит явно описать дуальные числа?
Я абсрактную алгебру еще не изучал

-- 22.10.2011, 18:12 --

правильно ли я понимаю, что мы как хотим может определить операцию умножения в матрице из двух чисел, лишь бы сохранялись аксиомы кольца?

[Kallikanzarid]

Mega Sirius12 в сообщении #495109 писал(а):

Спасибо-только объясните, что значит изоморфно, какие свойства многочленов и что значит явно описать дуальные числа?

Во-первых, алгебра абстрактная

Кольцо $A$ изоморфно кольцу $B$, если найдется биекция $f: A \to B$, сохраняющая обе операции и оба нейтральных элемента. Все объекты в математике нас интересуют, как правило, с точностью до подходящим образом определенного изоморфизма, поэтому можно неформально считать изоморфные кольца "одинаковыми". Вы наверняка знаете модулярную арифметику - это арифметика колец остатков $\mathbb{Z}/(n)$, где $(n) = n \mathbb{Z}$ - множество всех целых чисел, кратных $n$. Точно также $\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)$ - "кольцо остатков" многочленов по модулю $x^2 + 1$: мы считаем, что многочлен $p(x)$ равен нулю по модулю $x^2 + 1$, если $p(x) = q(x)(x^2 + 1)$ для некоторого многочлена $q(x)$.

Кольцо $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ определяется как множество пар вещественных чисел с покомпонентными сложением и умножением. Чтобы доказать изоморфизм $\mathbb{R}[x]/(x^2 - 1) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, вы можете воспользоваться китайской теоремой об остатке (есть в Википедии вместе со всеми нужными определениями).

Что касается дуальных чисел:
1) Посмотрите, как можно по аналогии с комплексными числами вложить кольцо вещественных чисел в кольцо дуальных чисел. Посмотрите, какой элемент достаточно "присоединить" к вещественным числам, чтобы получить все кольцо дуальных чисел, и какова будет для них таблица умножения.
2) Рассмотрите многочлены над ними и посмотрите, как они связаны с многочленами над $\mathbb{R}$, вы обнаружите очень интересное свойство, используемое, например, в алгебраической геометрии.

-- Сб окт 22, 2011 23:04:26 --

Mega Sirius12 в сообщении #495109 писал(а):

правильно ли я понимаю, что мы как хотим может определить операцию умножения в матрице из двух чисел, лишь бы сохранялись аксиомы кольца?

Ситуация немного сложней:
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebra_over_a_field

Мы не всегда хотим определять умножение так, чтобы получилось кольцо (например, очень большую роль в математике играют алгебры Ли, не являющиеся ассоциативными), но часто мы можем сделать кольцо алгеброй, как, например, в случае с комплексными числами; в этом случае элементы кольца можно будет представить строками вещественных чисел.

[shwedka]

Mega Sirius12 в сообщении #495109 писал(а):

Цитата:
Зато есть делители нуля
$(1;1)\cdot (-1;1)=(0;0)$
а что в этом плохого?

Если думать не хотите, Вам все равно. Если же думать хотите, то саообразите, что если есть делители нуля, то невозможно определить операцию деления. Поэтому такая предложенная Вами структура уже очень плоха.

[Kallikanzarid]

shwedka в сообщении #495162 писал(а):

Если думать не хотите, Вам все равно. Если же думать хотите, то саообразите, что если есть делители нуля, то невозможно определить операцию деления. Поэтому такая предложенная Вами структура уже очень плоха.

Локализация спасет отца русской демократии!

[Mega Sirius12]

Цитата:

Кольцо $A$ изоморфно кольцу $B$, если найдется биекция $f: A \to B$, сохраняющая обе операции и оба нейтральных элемента. Все объекты в математике нас интересуют, как правило, с точностью до подходящим образом определенного изоморфизма, поэтому можно неформально считать изоморфные кольца "одинаковыми". Вы наверняка знаете модулярную арифметику - это арифметика колец остатков $\mathbb{Z}/(n)$, где $(n) = n \mathbb{Z}$ - множество всех целых чисел, кратных $n$. Точно также $\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)$ - "кольцо остатков" многочленов по модулю $x^2 + 1$: мы считаем, что многочлен $p(x)$ равен нулю по модулю $x^2 + 1$, если $p(x) = q(x)(x^2 + 1)$ для некоторого многочлена $q(x)$.

Кольцо $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ определяется как множество пар вещественных чисел с покомпонентными сложением и умножением. Чтобы доказать изоморфизм $\mathbb{R}[x]/(x^2 - 1) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, вы можете воспользоваться китайской теоремой об остатке (есть в Википедии вместе со всеми нужными определениями).

спасибо за лекцию

Цитата:

Что касается дуальных чисел:
1) Посмотрите, как можно по аналогии с комплексными числами вложить кольцо вещественных чисел в кольцо дуальных чисел. Посмотрите, какой элемент достаточно "присоединить" к вещественным числам, чтобы получить все кольцо дуальных чисел, и какова будет для них таблица умножения.
2) Рассмотрите многочлены над ними и посмотрите, как они связаны с многочленами над $\mathbb{R}$, вы обнаружите очень интересное свойство, используемое, например, в алгебраической геометрии.

да, можно присоединить корень из единицы, не являющийся элементом $R$
Поэксперементирую с многочленами...

-- Сб окт 22, 2011 23:04:26 --

Цитата:

Ситуация немного сложней:
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebra_over_a_field

Мы не всегда хотим определять умножение так, чтобы получилось кольцо (например, очень большую роль в математике играют алгебры Ли, не являющиеся ассоциативными), но часто мы можем сделать кольцо алгеброй, как, например, в случае с комплексными числами; в этом случае элементы кольца можно будет представить строками вещественных чисел.

понял

-- 22.10.2011, 20:41 --

Цитата:

Если думать не хотите, Вам все равно. Если же думать хотите, то саообразите, что если есть делители нуля, то невозможно определить операцию деления. Поэтому такая предложенная Вами структура уже очень плоха.

почему нельзя?-можно, только не на числа вида $a+aj;a-aj;j^2=1$

[shwedka]

Mega Sirius12 в сообщении #495164 писал(а):

почему нельзя?-можно, только не на числа вида $a+aj;a-aj;j^2=1$

Вот это и плохо. За Ваш выпендреж приходится платить тем, что на много чисел нельзя делить.
А никаких преимуществ Вашей алгебры Вы предъявить не можете.

[Mega Sirius12]

Цитата:

Вот это и плохо. За Ваш выпендреж приходится платить тем, что на много чисел нельзя делить.
А никаких преимуществ Вашей алгебры Вы предъявить не можете.

эта алгебра также имеет право на жизнь
и она, в отличии от комплексных чисел, прекрасно описывает гиперболические повороты в двухмерном пространстве-времени Минковского

[Kallikanzarid]

Mega Sirius12 в сообщении #495164 писал(а):

да, можно присоединить корень из единицы, не являющийся элементом $R$

Не из единицы... Я говорил про $\mathbb{R}[x]/(x^2)$.

[Mega Sirius12]

Цитата:

Не из единицы...

из той той самой...

-- 22.10.2011, 21:17 --

Цитата:

Я говорил про $\mathbb{R}[x]/(x^2)$

а здесь из нуля вроде