Тригонометрия, Доказать

[myra_panama]

Доказать ,что
$\sin^2{\frac{\pi}7}\cdot\sin^2{\frac{2\pi}7}\cdot\sin^2{\frac{3\pi}7}=\frac7{64}$

(Оффтоп)

Как то постарался но туплю глупо.... или задача неверное....

[vlad_light]

воспользуйтесь формулой $\sin ^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, дальше будет проще...

[mihailm]

Можно выразить все через $\sin \frac{\pi}{7}$, долго но надежно)

[Cute]

Используя формулу, выражающую $\sin \left( {7\alpha } \right)$ через $\sin \left( \alpha \right)$ покажите, что числа

$x_1 = \sin ^2 \left( {\frac{\pi }{7}} \right),\;x_2 = \sin ^2 \left( {\frac{{2\pi }}{7}} \right),\;x_3 = \sin ^2 \left( {\frac{{3\pi }}{7}} \right)$

являются корнями кубического уравнения

$64x^3 - 112x^2 + 56x - 7 = 0$ .

Применяя к этому уравнению теорему Виета, получите требуемое равенство.

[Klad33]

Да, это самое простое решение:

$x^3-\frac{7}{4}x^2+\frac{7}{8}x-\frac{7}{64}=0$

Произведение корней равно свободному члену с обратным знаком:

$x_1\cdot x_2\cdot x_3 = \frac{7}{64}$

Это и есть ответ.

[nnosipov]

Это частный случай равенства

$$ \prod_{k=1}^{n-1} \sin{\frac{\pi k}{n}}=\frac{n}{2^{n-1}}, $$

которое легко доказывается с помощью комплексных чисел (другая формулировка: найти произведение длин всех диагоналей правильного $n$-угольника).

[myra_panama]

nnosipov в сообщении #495231 писал(а):

Это частный случай равенства

$$ \prod_{k=1}^{n-1} \sin{\frac{\pi k}{n}}=\frac{n}{2^{n-1}}, $$

которое легко доказывается с помощью комплексных чисел (другая формулировка: найти произведение длин всех диагоналей правильного $n$-угольника).

Хорошо, всё понял спасибо... задачка было очень легкое , но как то я отделялся от элементарной математики... по этому соп соп соп

[arseniiv]

(Оффтоп)

myra_panama в сообщении #495449 писал(а):

по этому соп соп соп